Сборник задач. Углубленный уровень. ДИНАМИКА. 8. Момент импульса

          

ДИНАМИКА. 8. Момент импульса

2.8.1. Через отверстие в гладкой горизонтальной плоскости продернута веревка. На этой веревке вокруг отверстия вращается тело массы $m$. Первоначальная длина веревки $L$, а скорость тела $v$. Длину участка веревки между телом и отверстием начали медленно сокращать, протягивая ее через отверстие. При некоторой длине участка $l$ веревка порвалась. Определите, какое наибольшее натяжения она выдерживала. При какой длине этого участка веревки она порвется, если при тех же условиях не вытягивать веревку через отверстие, а позволить ей наматываться на воткнутый в отверстие шест?

2.8.2. Грузик массы m вращается вокруг оси, будучи прикрепленным к ней пружиной. При минимальном расстоянии грузика от оси пружина не деформирована, ее длина равна $l$, а скорость грузика $v$. При какой жесткости пружины ее наибольшее удлинение не превысит величины $\Delta$?

2.8.3. Космонавт совершает «облет» астероида, вращаясь вокруг него на небольшой высоте $h$. На какую минимальную величину он должен уменьшить скорость своего движения, чтобы совершить «посадку» на астероид? Форма астероида - шар радиуса $R$. Ускорение свободного падения на его поверхности $a$ и оно существенно не меняется на высоте $h$. Величина $a$ настолько мала, что космонавт не рискует разбиться.

2.8.4. Два пластилиновых шарика одинаковой массы вращаются в одной плоскости вокруг одной оси, привязанные к ней нитями длины соответственно $l$ и $1,5l$ (см. рисунок). Скорость первого шарика $v$, второго - $2v$. Второй шарик догоняет первый, его нить начинает накручиваться на первый шарик, и шарики слипаются. Определите скорость образовавшегося комка.

2.8.5. На какое «прицельное» расстояние $h$ может промахнуться космический стрелок, чтобы все же попасть в тяжелую мишень (см. рисунок). Мишень представляет собой шар радиуса $R$ и массы $M$. Стрелок находится от нее далеко. Начальная скорость пули $v$. Потенциальная энергия силы притяжения двух масс $M$ и $m$ на расстоянии $l$ друг от друга равна $-\frac{GmM}{l}$.

2.8.6. Качели представляют собой легкую доску, посередине закрепленную на горизонтальной оси (см. рисунок). На правую половину доски на расстоянии $l$ от оси положили мешок с песком. На левую половину с высоты $h$ сбросили второй такой же мешок. На какую высоту подпрыгнет первый мешок, если удар второго о перекладину произошел на расстоянии $x$ от оси? При каком расстоянии $x_0$ эта высота будет наибольшей?

2.8.7. Тело движется на веревке длины $l$, привязанной к векрхнему концу вертикально стоящего столба (см. рисунок). Минимальное расстояние тела от столба $x_1$, максимальное - $x_2$. Найдите скорости тела в этих положениях.

2.8.8.* Тело массы $m$ привязано к внешней поверхности барабана веревкой длины $l$, как показано на рисунке. Барабан может вращаться вокруг оси $O$. Вся его масса $M$ сосредоточена вблизи внешней поверхности, имеющей радиус $R$. Телу сообщили азимутальную скорость $v$. Определите, с какой скоростью тело ударится о поверхность барабана. При каких условиях это произойдет? С какой угловой скоростью будет в этот момент двигаться барабан?

2.8.9. В гладком горизонтальном столе имеется отверстие, через которое продета нить (см. рисунок). На одном конце нити под столом висит тело $1$ массы $M$, на другом - на столе, на расстоянии $R$ от отверстия, удерживается другое тело $2$ массы $m$. Тело $2$ отпустили и сообщили ему перпендикулярную нити скорость — в результате тело $1$ опустилось на расстояние $Н$ и далее вновь начало подниматься. Какой величины скорость сообщили телу $1$?

2.8.10. Тело большой массы $M$ и связанное с ним веревкой тело малой массы $m$ скользят по гладкому горизонтальному стол (см. рисунок). В момент времени, когда большое тело покоилось, а малое имело скорость $v$, веревка наскочила на выступающий из стола гладкий гвоздь радиуса $r$. Какой будет скорость тела массы $M$, когда длина участка нити, накрутившейся на гвоздь, будет $l$?

2.8.11.* Космический аппарат вращается на околоземной орбите. При его высокой скорости даже очень разреженная на высоте полета атмосфера создает заметное сопротивление движению. Пусть на аппарат массы $m$ действует сила сопротивления $F$, направленная против движения. Как под действием этой силы и силы тяжести будет меняться во времени высота и скорость полета? Радиус Земли $R$. Начальная высота и скорость полета $h_0$ и $v_0$, $h_0 << R$, и она мало меняется за один оборот вокруг планеты.

2.8.12. Рулетка содержит пружину, втягивающую ленту внутрь корпуса: для того, чтобы вытянуть отрезок ленты длины $l$ нужно приложить силу $F = kl$. «Экспериментатор» привязал к концу ленты тяжелую гайку массы $m$, а рулетку прикрепил к ротору двигателя, который создает постоянный момент силы $M$. После включения двигателя гайка начала двигаться по спирали, вытягивая ленту по мере увеличения скорости вращения. Как будет зависеть от времени раскрутки длина вытянутого участка ленты. Величина момента $M$ достаточно мала, чтобы лента не накручивалась на вал двигателя. Силой тяжести и массой рулетки можно пренебречь.

2.8.13. Астероид представляет собой гладкий шар радиуса $r$, медленно вращающийся с угловой скоростью $\omega$. Чтобы оторваться от поверхности и стать спутником астероида, один космонавт на экваторе взялся за веревку, а второй, закрепившийся на полюсе, начал медленно тянуть его за эту веревку. Когда между космонавтами остался отрезок веревки длины $l$, первый из них оторвался от поверхности, отпустил веревку и стал искусственным спутником астероида. Определите ускорение свободного падения на астероиде.