Сборник задач. Углубленный уровень. ДИНАМИКА. 2. Упругость пружины, реакция опоры, натяжение нити

          

ДИНАМИКА 2. Упругость пружины, реакция опоры, натяжение нити

2.2.1. Один и тот же груз растягивает первую пружину на 1 мм, а вторую на 2 мм. У какой пружины жесткость больше?

2.2.2. Груз массы 1 кг растянул пружину динамометра на 5 см. Определите жесткость этой пружины.

2.2.3. Во сколько раз жесткость двух последовательно соединенных одинаковых пружин меньше жесткости одной пружины? Во сколько раз жесткость резинового шнура меньше жесткости половины этого шнура?

2.2.4. Резиновый шнур сложили втрое. Во сколько раз увеличится жесткость сложенного шнура?

2.2.5. На три пружины одинаковой длины и жесткости k1, k2 и k1 положили балку так, как это показано на рисунке. Определите силы, на балку со стороны пружин. Масса балки М.

2.2.6. Шарик массы $10$ г радиуса $1$ см налетает на закрепленную пружину жесткости $200$ Н/м, как показано на рисунке. Влетит ли шарик в отверстие, которое перекрывает пружина, выступающая из отверстия на $1$ см? Скорость шарика $10$ м/с.

2.2.7. Трос подъемного крана может разорвать при резком изменении скорости подъема груза. Во избежание этого явления применяют специальную пружину, которую располагают между крюком и тросом. Как работает это приспособление?

2.2.8. Когда поезд идет в гору, и паровоз - впереди, то соединения вагонов растягиваются. Когда же паровоз идет сзади, то соединения сжимаются. На крутых подъемах состав ведут два паровоза, один спереди и один сзади. Как ведут себя соединения в этом случае?

2.2.9. Карандаш массы $10$ г стоит вертикально на пружине в закрытом пенале (см. рисунок). Когда пенал перевернули, карандаш стал давить на крышку в $1,2$ раза сильнее. С какой силой он давил на нее первоначально?

2.2.10. Пружина скрепляет два груза, массы которых $m$ и $2m$. Когда система подвешена за верхний груз (см. рисунок, а), длина пружины равна $l$. Если систему поставить на подставку, как показано на рисунке, б, длина пружины равна $\frac{l}{2}$. Определите длину ненапряженной пружины.

2.2.11.* Три резиновых шнура связывают вместе и медленно растягивают в разные стороны (см. рисунок, а). В некоторый момент длины всех трех шнуров оказываются равны $L_1 = 20$ см. Затем шнуры растягивают под другими углами (см. рисунок, б). В этом случае равенство длин шнуров наступает при длине $L_2 = 30$ см каждого из них. Известна начальная длина шнура 1 (см. рисунок а и б) в недеформированном состоянии: $l = 15$ см. Найдите длины двух других шнуров и отношение их жесткостей к жесткости шнура 1.

2.2.12. На подставке лежит тело массы $m$, подвешенное на пружине жесткости $k$ (см. рисунок). Пружина не деформирована. Затем подставку начинают опускать с ускорением $a$. Через какое время после начала движения тело оторвется от подставки?

2.2.13. а) Три одинаковых шарика, соединенные последовательно пружинами, подвешивают на нити (см. рисунок). Найти ускорение каждого шарика сразу после пережигания нити, если масса пружин много меньше массы шариков. б) Два одинаковых шарика, соединенных пружиной, висят на нитях так, как изображено на рисунке. Определите ускорение шариков сразу после пережигания нити слева.

2.2.14. Из-за сопротивления воздуха, которое растет с увеличением скорости теннисного шарика, его скорость практически не зависит, падает ли он с высоты $10$ км или $100$ м. Объясните это явление. Чему равно ускорение такого шарика сразу после упругого удара о корт?

2.2.15. Два гвоздя вбиты в вертикальную стенку на одном уровне на расстоянии $l$. На них свободно висит легкий резиновый жгут длины $L$. Концы жгута скрепляют и к ним подвешивают груз массы $m$, который опускается на $h$ (см. рисунок). Определите жесткость жгута. Трением жгута о гвозди и весом пренебречь.

2.2.16. На корпуса двух одинаковых пружинных динамометров, соединенных так, как показано на рисунке, действуют противоположно направленные силы $F_1$ и $F_2$. Что покажут динамометры? Что покажут динамометры, если динамометр слева будет иметь массу в $n$ раз больше массы динамометра справа?

2.2.17. На дне шахтной клети лежит груз $m = 100$ кг. Какова будет реакция опоры этого груза, если клеть: а) поднимается вертикально с ускорением $a = 0,3$ м/с2; б) опускается с ускорением $a^/ = 0,4$ м/с2; в) свободно падает?

2.2.18. а) Какую силу, направленную горизонтально, надо приложить к телу $m$, лежащему на наклонной гладкой плоскости с углом $\alpha$ к горизонту, чтобы оно оставалась в покое? Чему равна в этом случае реакция опоры? б) Решите задачу в случае, когда сила направлена под углом $\beta$ к горизонту (см. рисунок).

2.2.19. На стержень длины $2l$ надета бусинка массой $M$ Бусинка может перемещаться по стержню без трения. В начальный момент времени и бусинка, которая находилась в центре стержня, и стержень были неподвижны. Затем стержень начал двигаться с ускорением $a$, направленным под углом $\alpha$ к стержню (см. рисунок). Определить реакцию опоры и время, через которое бусинка покинет стержень.

2.2.20.* С каким минимальным ускорением в горизонтальном направлении должны двигаться горизонтальная плита с лункой радиуса $R$ и глубины $h$ (с гладкой сферической поверхностью) (см. рисунок),
чтобы все тела, находящиеся в лунке, выскочили из нее?

2.2.21. Шарик радиуса $r$ удерживается на гладкой наклонной плоскости горизонтально расположенной пружиной жесткости $k$ (см. рисунок). Угол наклона плоскости $\alpha$. При опускании плоскости в горизонтальное положение пружина устанавливается под углом $2\alpha$ к горизонту. С какой силой плоскость действует на шарик в каждом случае?

2.2.22. Один конец натянутого растяжимого троса закреплен на застрявшем автомобиле, другой привязан к прочному дереву. Когда потянули за середину троса, перпендикулярно ему, то точка приложения силы отошла от первоначальной на $l = 0,1$ м. Расстояниемежду деревом и автомобилем $L = 20$ м. Во сколько раз сила, с которой трос подействовал на автомобиль, больше силы, приложенной к середине троса?

2.2.23. Обезьяна массы $30$ кг спускается по веревке с ускорением $0,2g$. Найдите натяжение веревки.

2.2.24. Веревку массы $m$ и длины $L$ тянут вверх по наклонной гладкой плоскости с ускорением $a$, прикладывая силу к ее верхнему концу. Как зависит натяжение веревки от расстояния $x$ до точки приложения силы? Угол наклона плоскости равен $\alpha$.

2.2.25.* Цепь массы $M$ подвешена на гвоздях $A$ и $B$, причем около них она идет под углами $\alpha$ и $\beta$ к вертикали (см. рисунок). Найти натяжение цепи вблизи гвоздей.

2.2.26. К центру цепи массы $m$, оба конца которой закреплены на потолке, подвесили груз массы $M$ (см. рисунок). Угол, который образует цепь с потолком, равен $\alpha$, а угол между ближайшими участками цепи справа и слева от места крепления груза равен $2\beta$. Определите натяжение цепи вблизи груза и вблизи потолка.

2.2.27.* а) Одна тяжелая гладкая цепь длины $L$ и массы $M$ подвешена одним концом к потолку, другая переброшена через блок так, что оба ее конца находятся на уровне свободного конца первой цепи, а середина на уровне крепления первой цепи (см. рисунок). Масса единицы длины у цепей одинакова. Докажите, что натяжение у цепей на одном уровне одинаково. б) Один конец гладкой цепи длины $L$ и массы $m$ закрепляют в нижней точке горизонтально расположенной балки радиуса $R$, другой конец, переброшенный через балку, свободно висит, так как $L > 2\pi R$ (см. рисунок). Определите натяжение цепи в точке крепления.

2.2.28.* На горизонтальной плите имеется лунка глубины $h$, поверхность которой часть сферы радиуса $R$. В лунке лежит участок тяжелой гладкой цепи. Один конец цепи закреплен на краю лунки, а свободный конец находится на плите (см. рисунок). Масса единицы длины цепи $\rho$. С какой минимальной силой нужно потянуть за свободный конец в горизонтальном направлении, чтобы цепь начала отрываться; чтобы цепь полностью оторвалась от поверхности лунки?

2.2.29.* Во сколько раз натяжение провода электропередачи вблизи его крепежа больше его веса, если он, при длине $l$, провисает на $h$ (см. рисунок)?

2.2.30. Воздушный шар массы $M$, подгоняемый ветром, движется горизонтально с постоянной скоростью, волоча за собой канат массы $m$ и длины $l$ (см. рисунок). Выталкивающая сила, действующая на шар, равна $F$, $Mg < F < (m + M)g$, коэффициент трения между канатом и землей $mu$. На какой высоте летит шар?

2.2.31. На нити висит груз массы $m$. Нить перекинута через блок, а другой конец нити привязан к противовесу, лежащему на столе (см. рисунок). Блок начинают поднимать по вертикали с постоянным ускорением $a$. При какой массе противовеса он не оторвется от стола?

2.2.32. Через неподвижный блок перекинута нить, к одному концу которой прикреплена масса $m_1$, а к другому первый раз присоединили пружинку с подвешенной к ней массой $m_2$, второй раз пружинку с другой жесткостью с подвешенной к ней массой $m_3$, в третий раз последовательно к первой пружинке с подвешенной массой $m_2$, присоединили вторую пружинку с подвешенной к ней массой $m_3$ (см. рисунок). Все движения тел установившиеся (нет колебаний). В первый раз длина пружинки увеличилась на $x_1$, во второй раз - на $x_2$. Каково суммарное увеличение длины пружинок в третий раз?

2.2.33. Тела массы $m$ и $2m$ связаны нитью, перекинутой через тело массы $3m$. Определите ускорения тел: а) при действии силы $\vec{F}$ на тело массы $m$ (см. рисунок); б) при действии этой же силы только на тело массы $2m$; в) при действии силы - $\vec{F}$ только на тело массы $3m$; г) при действии силы $\vec{F}$ на тело массы $m$, силы $k\vec{F}$ на тело массы $2m$, силы $l(-\vec{F})$ на тело массы $3m$, $k, l > 0$.

2.2.34*. В теле массы $M$, лежащем на горизонтальной поверхности, проделан вертикальный канал. Два одинаковых грузика связаны нитью, переброшенной через блок. Один грузик находится внутри канала, а другой на поверхности тела (см. рисунок). Трения нет. Какая должна быть масса каждого грузика, чтобы тело двигалось с ускорением $\frac{1}{4}g$?

2.235. Два одинаковых груза связаны между собой нитью, перекинутой через блок (см. рисунок). Плоскости, на которых находятся грузы, составляют с горизонтом углы $30^0$ и $60^0$. Определить ускорение грузов, если трения нет.

2.2.36. Во сколько раз изменится давление клина с углом $45^0$ на пол при пережигании нити, удерживающей на его поверхности брусок, если масса клина и бруска одинакова, а трения нет.

2.2.37.* Клин массы $M$ находится на гладком полу. На гладкой поверхности клина с углом наклона $\alpha$ находится тело массы $m$. К нити, связанной с телом и перекинутой через блок на клине, приложена горизонтальная сила $F$ так, как показано на рисунке. Найдите ускорение клина.

2.2.38.* Гантель с одинаковыми шариками устанавливают под углом $\alpha$ к горизонту так, что один шарик находится на гладком полу, другой касается гладкой вертикальной стенки (см. рисунок). Определите ускорение шариков гантели после того, как гантель отпустили.