Сборник задач. Углубленный уровень. ДИНАМИКА. 14. Влияние внешних сил на колебания тела

          

ДИНАМИКА. 14. Влияние внешних сил на колебания тела

2.14.1. Почему отряду солдат командуют «вольно», когда они подходят к мосту?
2.14.2. а) Машину, попавшую в яму, раскачивают в такт с ее колебаниями в яме. В какой момент, и в каком направлении нужно прикладывать максимальную силу, чтобы раскачать машину как можно быстрее?
б) В какой момент времени и в каком направлении нужно прикладывать максимальную силу, чтобы как можно быстрее остановить тяжелые качали?
2.14.3. Грузовики въезжают по грунтовой дороге на склад с одной стороны, разгружаются и выезжают со склада с такой же скоростью с другой стороны. Почему выбоины на дороге в склад идут приблизительно в два раза реже, чем на дороге со склада? Масса машины 1 т. Оцените массу груза.
2.14.4. Через ручей переброшена длинная упругая доска. Когда мальчик стоит на ней неподвижно, она прогибается на $\Delta$. Длина шага мальчика l. При какой скорости бегущего по доске мальчика доска может сильно раскачаться?
2.14.5. Частота ударов волн о катер, стоящего на пристани $\nu$, частота покачивания катера в спокойной воде $\nu_0$, $\nu_0 > \nu$. Катер вышел в открытое море и стал двигаться навстречу волнам под углом а к гребням волны (см. рисунок). При скорости v катер стал сильно раскачиваться волнами. Определите скорость волн. Что должен сделать капитан, чтобы уменьшить раскачку катера?
2.14.6. При раскачивании качелей с мальчиком всякий раз в крайнем положении на $\delta$ увеличивают расстояние до положения равновесия. Длина качелей l, масса мальчика много больше массы качелей. Амплитуда колебаний много меньше l. Определите максимальную скорость мальчика, если время
раскачки m.
2.14.7. Тело, подвешенное на пружине, совершает гармонические колебания с амплитудой х0 и частотой $\omega_0$ (см. рисунок). В течение времени $\tau$ тело раскачивают, сообщая ему дополнительную скорость v в направлении движения всякий раз, когда тело проходит положение равновесия. На какую величину возрастет амплитуда колебания тела после такой раскачки?
2.14.8. Казалось бы, стреляя из рогатки в мост в такт его собственным колебаниям и сделав очень много выстрелов, его можно сильно раскачать, однако вряд ли удастся. Почему?
2.14.9. Брусок массы М, лежащий на полу, связан со стенкой недеформированной пружиной жесткости k. Коэффициент трения между бруском и полом $\mu$. Брусок оттянули от стенки на х0, а затем отпустили (см. рисунок). Рассчитайте каждый из трех вариантов, обеспечивающих возвращение бруска на прежнее место.
а) Насколько всякий раз нужно увеличивать скорость бруска, когда он проходит положение равновесия, приближаясь к стенке? Удаляясь от стенки?
б) Какую скорость нужно всякий раз сообщать бруску при его остановке вблизи стенки?
в) Насколько всякий раз нужно смещать брусок при его остановке вблизи стенки?
2.14.10. На пружине жесткости k висит неподвижно груз массы m (см. рисунок).
а) Определите амплитуду колебаний груза, если на груз начнет действовать вниз постоянная сила F.
б) Определите амплитуду колебаний груза, спустя время $\tau$, если сила F при каждой остановке груза меняла свое направление.
2.14.11. а) На полу лежат два связанных нитью бруска, между которыми находится сжатая ими на х0 пружина жесткости k (см. рисунок). Масса каждого бруска m. Нить пережигают, и бруски начинают двигаться. Коэффициент трения между брусками и полом $\mu$. Через какое время бруски
потеряют контакт с пружиной?
б)* Решите задачу а) в случае, когда масса второго бруска М, М > m, $х_0 > 2\mu (М + m)g$.
2.14.12. Со стороны пружины на тело массы m действует сила $F_0sin\omega t$, $\omega > \sqrt{k/m}$. Определите амплитуду колебаний тела. Изменится ли амплитуда колебаний тела, если эта сила вызывается не пружиной?
2.14.13. а) Тело массы m связано с двух сторон пружинами со стенками (см. рисунок, а). Жесткость левой пружины k. Определите амплитуду колебания тела, если известно, что со стороны правой пружины на тело действует сила $F_0sin\omega t$, $\omega > \sqrt{k/m}$.
б) Тело массы m с левой стороны связано со стенкой пружиной жесткости k, а с правой стороны жестко связано с другим телом (см. рисунок, б). Определите амплитуду колебаний тел, если известно, что второе тело действует на первое с силой $F_0sin\omega t$, $\omega < \sqrt{k/m}$.
в) Определите амплитуду колебания первого тела в задаче а) и б), если в момент времени $\tau$ сила, действующая на тело справа, исчезнет.
2.14.14.* Если на груз массы m, висящий неподвижно на пружине жесткости k, начнет действовать вдоль пружины сила $F_0sin\omega t$ (см. рисунок), то последующее движение тела может складываться из движения с частотой $\omega$, на которое накладываются свободные колебания тела. Докажите это утверждение и, используя его, решите следующие задачи.
а) Сила $F_0sin\omega t$ действует на груз с нулевого момента времени. Определите максимальную скорость и максимальное отклонение груза от положения равновесия.
б) Решите задачу а), если сила $F_0sin\omega t$ начинает действовать с момента времени $\tau$.
в) Как меняется во времени амплитуда колебаний груза во времени в случае а) и б) при резонансе, когда со отличается от собственной частоты $\omega_0 > \sqrt{k/m}$ на очень малую величину? Чем ограничивается в реальных условиях раскачка колебаний при резонансе?
2.14.15. а) Маятник с шариком массы m совершает в вакууме незатухающие колебания с частотой $\omega$ и амплитудой x0: $x = x_0sin\omega t$ (см. рисунок). При напуске воздуха шарик стал тормозиться силой FT, пропорциональной скорости шарика v: FT =-bv. С какой силой нужно действовать на шарик маятника, чтобы движение маятника оставалось таким же, как и в вакууме.
б) До какой амплитуды резонансно раскачивается в воздухе маятник в задаче а) синусоидальной силой с небольшой амплитудой F0.
2.14.16.* а) Тело неподвижно висит на одной из двух одинаковых пружин, подсоединенных (см. рисунок) к телу с разных сторон. Свободный конец нижней пружины начинают двигать с постоянной скоростью v0. До какой максимальной скорости разгонится тело?
б) Решите задачу а), когда жесткость верхней пружины в n раз больше нижней.
в) Решите задачу б), когда свободный конец двигают, начиная с t = 0 , со скоростью $v_0cos\omega t$. Чему равна максимальная сила, действующая на свободный конец нижней пружины, если масса тела m, жесткость нижней пружины k, а верхней nk?