Сборник задач. Углубленный уровень. ДИНАМИКА. 13. Закон сохранения энергии при гармоническом движении

          

ДИНАМИКА. 13. Закон сохранения энергии при гармоническом движении

2.13.1. а) В аттракционе «падение g пропасть» человек массы М, привязанный к шнуру длины L и жесткости к шагает в глубокий обрыв. Определите максимальную глубину, на которую может «упасть» человек. Каково время «падения» человека? Сопротивлением воздуха пренебречь, б) Какова должна быть жесткость шнура длины 20 м, чтобы сила, действующая на человека массы 70 кг в задаче а), не превышала 2800 Н?
2.13.2. Подпрыгивая с земли, кузнечик оказывается на высоте H. Он совершает прыжки, прикладывая все время одинаковые усилия, находясь на плите, совершающей гармонические колебания в вертикальном направлении с периодом Т.
а) Оказалось, что, подпрыгивая с плиты, в момент, когда она находится в верхнем положении и в момент, когда она находится в среднем положении, кузнечик в итоге оказывается на одинаковой максимальной высоте. Найдите амплитуду колебаний плиты.
б)* На какой максимальной и какой минимальной высоте он может оказаться, если амплитуда колебаний плиты мала по сравнению с высотой Н.
2.13.3. Массивная цепочка длины l, двигаясь по гладкому полу в продольном направлении со скоростью v0, наезжает на высокую гладкую горку с углом наклона $\alpha$ (см. рисунок). Определите время контакта цепочки с горкой.

2.13.4. Между двумя одинаковыми по массе брусками, лежащими на полу, находится пружина (см. рисунок), которая удерживается в сжатом состоянии нитью. Коэффициент трения между первым бруском и полом $\mu$. Трением между вторым бруском и полом можно пренебречь. Нить пережигают. Через время $\tau$ после пережигания нити первый брусок останавливается. Чему равна в этот момент скорость второго бруска? Изменится ли ответ, если концы пружины закрепить на брусках?

2.13.5. Сжатую на $\Delta l$ пружину жесткости k вставляют между двумя брусками с массами m, стоящими на полу и отпускают (см. рисунок). Найдите путь каждого бруска до остановки, если коэффициент трения между брусками и полом равен $\mu$.

2.13.6.* а) Определите период малых колебаний полукольца радиуса R в его плоскости. Полукольцо подвешено за центр невесомого стержня, соединяющего концы полукольца (см. рисунок).

     

б) На дне гладкой лунки сферической формы радиуса R (см. рисунок) находится цепочка длины l (\(l \leq \pi R\)). Определите частоту малых продольных колебаний цепочки.
2.13.7. К ободу колеса с горизонтально расположенной осью, прикреплен грузик массы m (см. рисунок). Найдите радиус и массу колеса, с учетом ее равномерного распределения по ободу, если период колебаний колеса с грузиком вокруг оси равен Т. Известно, что при увеличении массы грузика вдвое, период колебаний уменьшается на 10 %.

2.13.8. а) Маятник состоит из трех одинаковых шариков, закрепленных на невесомом стержне. Расстояние от точки подвеса до первого шарика и расстояние между шариками равно l (см. рисунок). Найдите период малых колебаний такого маятника.

б) Решите задачу а) для случая, когда закрепленные шарики имеют массы m1, m2 и m3 соответственно.
2.13.9. Гантелька состоит из двух одинаковых небольших шариков, соединенным невесомым стержнем длины l. Определите период малых колебаний гантельки, подвешенной на двух нитях длины L, соединяющей шарики с точкой подвеса (см. рисунок) в случае, когда а) гантелька совершает колебания в плоскости, проходящей через центры шариков и подвес; б) гантелька совершает колебания в направлении, перпендикулярном этой плоскости.

2.13.10.* Жесткая конструкция, образованная восемью небольшими одинаковыми шариками, соединенными жесткими невесомыми стержнями, имеет вид куба, в вершинах которого расположены шарики (см. рисунок). Длина ребер куба равна а. Определите частоту малых колебаний конструкции в случае, когда она подвешивается на горизонтальной оси: а) за два соседних шарика; б) за два противоположных шарика одной из граней; в) за середины противолежащих ребер одной из граней.

2.13.11. Всем участкам массивного резинового кольца радиуса R и массы М сообщили скорость v0, направленную от центра кольца (см. рисунок). Жесткость тонкого шнура, из которого изготовлено кольцо, равно k. Определите максимальный радиус кольца и время его расширения.

2.13.12. Определите частоту малых колебаний лежащего на полу тонкостенного цилиндра массы М и радиуса R с небольшим шариком m, закрепленным внутри цилиндра в нижней его части (см. рисунок) в случаях:

а) между цилиндром и полом трения нет;
б) между цилиндром и полом нет проскальзывания.
2.13.13. Определите период малых колебаний тонкостенного цилиндра радиуса r, лежащего в горизонтальном тоннеле радиуса R (см. рисунок) в случаях:

а) между цилиндром и тоннелем трения нет;
б) между цилиндром и тоннелем нет проскальзывания
2.13.14.* На гладком полу лежит тонкостенный цилиндр радиуса R и массы М. Внутри него находится второй тонкостенный цилиндр радиуса r и массы m (см. рисунок). Определите период малых колебаний внутреннего цилиндра в случаях:

а) между поверхностями цилиндров трения нет;
б) если между цилиндрами нет проскальзывания;
в) если внутренний цилиндр в нижней части жестко закреплен на первом цилиндре.
2.13.15. В игрушке «ванька-встанька» расстояние между небольшими массивными шариками, закрепленных внутри легкой целлофановой оболочки равно l. Радиус нижней части игрушки равен R (см. рисунок). Определите частоту малых колебаний игрушки в случаях:

а) между игрушкой и полом трения нет;
б) игрушка качается, не проскальзывая.
2.13.16. В полусферической гладкой лунке радиуса R, сделанной в полу, удерживаются на расстоянии R, на одном уровне небольшие шарики, массы m каждый. Между шариками находится сжатая с 3R до R пружина жесткости k (см. рисунок). Шарики отпускают и они вместе с пружиной вылетают из лунки. На какой высоте над полом шарики впервые окажутся на таком же расстоянии друг от друга, как и в момент вылета из лунки?

2.13.17. Момент инерции физического маятника относительно места подвеса равен J, масса маятника М, расстояние от места подвеса до центра масс R. Определите «энергетическим способом» период колебаний такого маятника.
2.13.18. Определите период колебаний следующих физических маятников в плоскости рисунков:
а) стержня длины l, подвешенного за конец (см. рисунок);

б) правильного треугольника, собранного из трех одинаковых стержней длины l, подвешенного за вершину (см. рисунок);

в) квадрата, собранного из четырех одинаковых стержней длины l, подвешенного за середину одного из стержней (см. рисунок);

г) подвешенного обруча радиуса R (см. рисунок);
д) шайбы радиуса r и массы М, подвешенной через жестко соединенный с шайбой конец стержня массы m и длины l (см. рисунок);

е)* шайбы радиуса R с отверстием радиуса r, подвешенной за край, в случае, когда центр отверстия находится на расстоянии l от центра шайбы (см. рисунок).