Сборник задач. Углубленный уровень. ДИНАМИКА. 12. Гармонические колебания

          

ДИНАМИКА. 12. Гармонические колебания

2.12.1. Собственная частота колебания груза, подвешенного на пружине в поле тяжести равна $\omega$. Груз отклонили вниз на расстояние L от положения равновесия и отпустили «с нулевой» скоростью. Через какое время груз пройдет расстояние L/2, L, 3L/2,2L. Через какое время он вернется в место, из которого был отпущен?

2.12.2. Брусок, соединенный через пружину со стенкой, находится на гладкой горизонтальной плоскости. Собственная частота колебания бруска равна $\omega$.
а) Брусок отклонили от положения равновесия влево на расстояние L и отпустили. Определите расстояние до положения равновесия и скорость бруска в произвольный момент t.
б) Решите задачу а) для случая, когда бруску в положения равновесия сообщили скорость v0 вправо.
в) Решите задачу а), если брусок отклонили от положения равновесия влево на расстояние L, а затем в этом положения сообщили скорость v0 влево. Покажите, что решение этой задачи является суммой решений задач а) и б) как для смещения бруска, так и для его скорости.

2.12.3. На гладкой горизонтальной плоскости между двумя стенками находится небольшой шар, соединенный через пружину с левой стенкой. Период собственных колебаний шара на пружине Т0. Шар толкнули таким образом, что он стал совершать колебания так, что его максимальное смещение влево от положения равновесия в $\sqrt{2}$ раза превышает расстояние от положения равновесия до правой стенки. Удары шара о правую стенку - абсолютно упругие. Найти период данного колебательного движения.

2.12.4. Наблюдая за далекой двойной звездой, астроном обнаружил, что в направлении, перпендикулярном направлению наблюдения, обе звезды совершают гармонические колебания с периодом Т0 и амплитудами А1 и A2 соответственно. Определите массы этих звезд, если их размеры малы по сравнению с амплитудами колебаний.

2.12.5. Чувствительность пружинного динамометра 1 см/кг. Определите частоту колебаний груза весом 4 кг, подвешенного на этом динамометре.

2.12.6. Во сколько раз изменится частота колебаний груза на резиновом шнуре, если шнур сложить вдвое?

2.12.7. Жесткость пружины устройства для измерения массы космонавта равна 100 Н/м. Масса кресла устройства 5 кг. Период колебаний кресла с космонавтом 5,4 с. Определите массу космонавта.

2.12.8.* После загрузки 100 т груза, период вертикальных колебаний корабля увеличился 1,4 с до 2 с, а после полной загрузки период колебаний увеличился до 3 с. Определите массу всего груза. Считать, что масса воды, вовлекаемая в движение, не изменяется при загрузке.

2.12.9. На расстоянии L от пола висит, повешенный на пружине жесткости k небольшой шарик массы m (см. рисунок). Какую скорость нужно сообщить шарику вниз, чтобы после упругого удара о пол, он поднялся на высоту 3L (относительно пола)? Чему равен период колебаний шарика в этой ситуации?

2.12.10. На гладком полу находятся два шарика массы m каждый, связанные пружиной жесткости k. Пружину сжали этими шариками, а затем их отпустили.
а) Определите частоту колебаний шариков.
б) Решите задачу а) в случае, когда масса одного шарика m, другого - М.

2.12.11.* Один из двух шариков, лежащих на гладком столе (на рисунке левый шарик), связан длинной нитью со стенкой. Правый, точно такой же шарик связан с первым пружиной жесткости k. Правый шарик отодвинули от стенки, растянув пружину на $\Delta l$, и отпустили. Масса каждого шарика m. Какую максимальную скорость приобретет левый шарик? Через какое время после начала движения правого шарика это произойдет? Какое расстояние пройдет за это время левый шарик? Правый шарик?

2.12.12. Находящийся на гладком полу брусок массы m связан недеформированной пружиной жесткости k со стенкой (см. рисунок). Коэффициент трения между бруском и полом равен $\mu$. В направлении от стенки бруску сообщили скорость $v$. Через какое время брусок остановится первый раз? Какое растяжение будет у пружинки в этот момент?

2.12.13. а) Три одинаковые шарика массы m каждый, связанные одинаковыми недеформированными пружинами жесткости k, образуют правильный треугольник (см. рисунок). Всем шарикам одновременно сообщили одинаковые по величине скорости, направленные к центру треугольника. Определите период колебаний шариков.
б)* Решите задачу а), когда N шариков массы m/N каждый, связанные N пружинами жесткости kN каждая (суммарная жесткость всех соединенных последовательно пружин равна k), образуют правильный N-угольник. Чему будет равен период колебаний этих шариков, если N → \(\infty\) (это совпадает с периодом радиальных колебаний массивного эластичного кольца жесткости k и массы m?

2.12.14. а) Восемь шариков массы m каждый,связаны пружинами жесткости k так, что образуют куб (см. рисунок). Всем шарикам одновременно сообщили одинаковые по величине скорости, направленные к центру куба. Определите период колебаний шариков.
б)* Большое количество шариков массы m каждый и пружин жесткости k каждая образуют правильный N-гранник. Всем шарикам одновременно сообщили одинаковые по величине скорости, направленные к центру N-гранника. Чему равен период колебаний этих шариков, если гранями являются квадраты? Если грани - правильные шестиугольники?

2.12.15. Два шарика массы m каждый, соединены пружиной жесткости k0, а со стенками - пружинами жесткости k так, как изображено на рисунке. Силой тяжести можно пренебречь.
а) Шарики приблизили друг другу на 2l, при этом, растянув крайние пружины на l каждую. Затем шарики отпустили. Определите амплитуду колебаний каждого шарика и их максимальные скорости.
б) Решите задачу а), если оба шарики сдвинули влево на l, а затем отпустили, в) Покажите, что сумма решений задач а) и б) отвечает условию: левый шарик оставили на месте, а правый сместили на 2l влево, и затем шарики отпустили. Чему в этом случае равна максимальная скорость левого и правого шариков.

2.12.16. Между потолком и полом висят два шарика, связанные друг с другом пружиной. Нижний шарик через пружину связан с полом (см. рисунок). Жесткость каждой пружины k, а масса каждого шарика m. Нижняя пружина вначале недеформирована.
а) Определите натяжение двух других пружин, когда оба шарика неподвижны.
б)* Определите максимальное растяжение каждой пружины, если нижнему шарику сообщили скорость v0, направленную вверх.

2.12.17.* а) Доска массы m лежит на двух катках, вращающихся с большой угловой скоростью навстречу друг другу (см. рисунок). Расстояние между центрами катков L, коэффициент трения между левым катком и доской при скольжении доски по катку $\mu_1$, а между правым катком и доской - $\mu_2$. Найдите период колебаний доски.
б)* Решите задачу а) в случае, если доска наклонена под углом $\alpha$ к горизонту (один каток расположен выше).

2.12.18. Тело массы m закреплено в центре натянутой струны длины l (см. рисунок). Натяжение струны равно Т. Определите частоту малых поперечных колебаний тела. Влиянием силы тяжести пренебречь.

2.12.19. Над полюсом Земли перпендикулярно ее оси протянут прямой гладкий провод. Определите период малых колебаний шайбы, надетой на провод на участке, который находится ближе всего к поверхности Земли (см. рисунок). Радиус Земли 6300 км.

2.12.20.* а) Гладкий стержень длины L и массы М находится в невесомости. На стержень надета маленькая шайба, масса которой гораздо меньше массы стержня (см. рисунок) и которая может скользить без трения по стержню. Гравитационная постоянная G. Определите период малых колебаний шайбы вблизи центра стержня.
б) Решите задачу а) в случае, когда масса шайбы равна массе стержня.
в) Как изменятся ответы задач а) и б), если стержень согнуть в полукольцо?