Сборник задач. Углубленный уровень. ДИНАМИКА. 11. Статика

          

ДИНАМИКА. 11. Статика

2.11.1. На наклонной плоскости находятся два соединенных невесомой нитью тела с массами $m_1$ и $m_2$ (см. рисунок). Коэффициенты трения между телами и наклонной плоскостью соответственно равны $\mu_1$ и $\mu_2$, причем $\mu_2 > \mu_1$. При каком наибольшем угле наклона плоскости по отношению к горизонтали тела могут не скользить по наклонной плоскости?

2.11.2. Два кирпича, размером ($a \times a \times 3a$) каждый, прочно соединены в форме буквы «$Г$» (см. рисунок). Плотность нижнего кирпича $\rho_1$. Найти максимальное значение плотности верхнего кирпича $\rho_2$, при которой буква «$Г$» еще стоит на горизонтальной плоскости.

2.11.3. Какую массу нужно поместить справа, чтобы система грузов пришла в движение (см. рисунок). Масса левого груза $m_1$, коэффициент трения грузов о плоскость $\mu$, причем $\mu < tg\alpha$, левый угол при основании клина $\alpha$, при вершине - $90^0$.

2.11.4.* Длинный однородный стержень массы $m$ с закрепленным на конце грузом массы $M$ шарнирно соединен с горизонтальной балкой в точке $O$ (см. рисунок). Стержень удерживается пружиной жесткости $k$, прикрепленной ко второму его концу в точке $A$ на балке, при этом расстояние $OA$ равно длине стержня. В состоянии равновесия угол отклонения стержня от горизонта равен $\alpha$. Найти длину растянутой пружины, если в ненапряженном состоянии она равна $L_0$.

2.11.5. На наклонной плоскости находятся две опоры на расстоянии $L$ друг от друга. На опоры кладут доску длины $1,5L$ (см. рисунок). Коэффициент трения между доской и верхней опорой равен $\mu$, нижней опорой - $2\mu$. Определите углы наклона, при которых доска будет соскальзывать при любом ее положении.

2.11.6. На столе лежат бусы длины $L$ (см. рисунок). Какова максимальная длина свешивающейся части бус, если коэффициент трения между ними и верхней поверхностью стола $\mu$, а остальные поверхности гладкие. Бусы представляют собой цепочку соприкасающихся шариков.

2.11.7. В каком случае тормозной путь автомобиля будет короче: при торможении передними или задними колесами? Почему?

2.11.8.* Между двумя отвесными стенами оврага над ручьем «на честном слове» висит легкое бревно, удерживаемое только силами трения (см. рисунок). Расстояние между стенами $d$, левый конец бревна на $h$ выше правого. Незадачливый турист пытается слева направо пройти по этому бревну. На каком расстоянии $x$ от левого края оврага он вместе с бревном упадет в ручей? Коэффициент трения краев бревна о стенки оврага $\mu$.

2.11.9. Катушку поставили в угол и начали тянуть вниз за намотанную на нее нитку (см. рисунок). Коэффициент трения катушки о пол и стену одинаков. При каком коэффициенте трения она не сможет вращаться? Радиус большого обода катушки равен $R$, малого - $r$.

2.11.10. На гладкой полуцилиндрической поверхности радиуса $R$ покоится однородная цепь массы $m$ и длины $L$ ($L < \frac{\pi R}{2}$), у которой верхний конец закреплен в наивысшей точке полуцилиндра (см. рисунок). Определите натяжение цепи около точки крепления.

2.11.11. Два одинаковых груза массы $M$ висят на нити, перекинутой через доску-горбыль (см. рисунок). Нижняя поверхность доски плоская, верхняя имеет цилиндрическую поверхность радиуса $R$. С какой силой давит на доску центральный участок нити длины $l$?

2.11.12. На отвесные скалы альпинисты иногда поднимаются «спортивным» способом (см. рисунок). Каким должен быть коэффициент трения между ботинками альпиниста и скалой, чтобы он смог двигаться вверх? Считайте, что точка опоры о скалу $A$, центр тяжести $C$ и точка крепления веревки $B$ лежат на одной прямой, перпендикулярной скале и $AC = 2CB$. Угол между веревкой и поверхностью скалы $\alpha$.

2.11.13*. Связка из двух веревок одинаковой длины $l$, но различной массы $m_1$ и $m_2$ подвешены так, что сила натяжения в узле $T$, а провисание незначительно (см. рисунок). Определите силы натяжения веревок вблизи точек подвеса.

2.11.14. Две линейки соединены так, что образуют двугранный угол с раствором $2\alpha$. Плоскость биссектрисы этого угла занимает вертикальное положение. Снизу между линейками вдавливают неизвестной силой твердый шар массы $m$ (см. рисунок). Какую силу необходимо приложить, чтобы после прекращения воздействия шар не выпал? Коэффициент трения шара о линейки равен $\mu$.

2.11.15. Какую горизонтальную силу нужно приложить к табуретке (см. рисунок), чтобы сдвинуть ее вправо. Высота табуретки $h$, масса $m$, расстояние между ножками $l$. Коэффициент трения о пол левых ножек $\mu_1$, правых - $\mu_2$.

2.11.16. На горизонтальном столе находится лист бумаги, прижатый однородным стержнем веса $P$, верхний конец которого шарнирно закреплен (см. рисунок). Угол между стержнем и листом $\alpha$, коэффициент трения между ними $\mu$. Между столом и бумагой трение отсутствует. Какую минимальную силу нужно приложить к листу по горизонтали, чтобы его вытащить?

2.11.17. Однородный стержень массы $m$ одним концом опирается на гладкую горизонтальную, другим - на гладкую наклонную плоскость (см. рисунок). Угол между плоскостями равен $\alpha$. Какую силу, направленную вдоль наклонной плоскости, нужно приложить к стержню, чтобы он находился в равновесии?