Сборник задач. Углубленный уровень. ДИНАМИКА. 1. Законы Ньютона

          

ДИНАМИКА 1. Законы Ньютона

2.1.1. Наблюдая за движением муравья по вертикальному стеблю, экспериментатор нарисовал графики зависимости скорости муравья на трех различных участках от времени. Графики представлены на рисунках а, б, в. Масса муравья 0,01 г. Определите максимальную разницу сил, с какой муравей отталкивается от стебля на каждом участке.

2.1.2. Определите силу сопротивления воздуха, действующую на парашют, если последний опускается с постоянной скоростью. Масса парашютиста с парашютом 90 кг.

2.1.3. При начальной скорости 72 км/час, тормозной путь автомобиля оказался равен 20 м. Определите перегрузку водителя при таком торможении.

2.1.4. При упругом ударе о стенку скорость шарика массы 10 г меняет свое направление. Длительность удара шарика 10-2 с, скорость шарика 10 м/с. Чему равна
сила, действующая на шарик? Силу в процессе удара считать постоянной.

2.1.5. На рисунке показан график зависимости высоты подъема теннисного шарика, подпрыгивающего над упругой плитой, от времени. Как зависит от времени скорость шарика и действующая на него сила? Масса шарика 100 г.

2.1.6. Определите: а) силу, действующую на Луну со стороны Земли (расстояние до Луны $384 000$ км); б) силу, действующую со стороны Солнца на Землю и на Луну (расстояние от Земли до Солнца свет проходит за $8$ мин, а скорость света равна $300$ тыс. км/с). Масса Луны $7,4 \cdot 10^{22} кг, масса Земли $6 \cdot 10^{24}$ кг.

2.1.7. Космический корабль массы $M$, летящий со скоростью $u$, обнаружил на расстоянии $l$ по курсу рой метеоритов, летящих ему навстречу со скоростью $v$. Какую минимальную «противотягу» должен развить корабль, чтобы «убежать» от метеоритов.

2.1.8. Два шарика массы $M$, связанные нитью длины $i$, скользят по гладкой горизонтальной плоскости со скоростью $v$, как показано на рисунке. При их движении нить, связывающая шарики, налетает на столбик квадратного сечения $a x a$ так, как это изображено на рисунке. Какие силы будут действовать на шарики в течении времени $\frac{\pi (l - a)}{4v}$ после контакта нити со столбиком?

2.1.9. Шарик массы $m$, привязанный нитью длины $l$ к неподвижному бревну радиуса $r$, двигаясь со скоростью $v$, наматывает нить на бревно (см. рисунок). Как зависит натяжение нити от угла поворота $\varphi$.

2.1.10. На первоначально неподвижное тело массы $M$ с момента времени $t = 0$ действует постоянная сила $F$, которая каждые $\tau$ секунд меняет свое направление. Какое расстояние пройдет тело за $2n\tau$ секунд, где $n$ — целое число?

2.1.11. Представьте, что Вы сидите в пассажирском кресле самолета, готового к взлету. Попробуйте сконструировать прибор для измерения ускорения, который можно изготовить из подручных материалов за несколько минут, оставшихся до старта самолета. Оцените точность измерения ускорения Вашим прибором.

2.1.12. Хоккеист сообщает шайбе ускорение, действуя на нее клюшкой с силой, зависимость которой от времени показана на рисунке. Масса шайбы $0,2$ кг. Определите максимальную скорость шайбы.

2.1.13.* Двигатели ракеты после старта создают постоянную силу тяги, но по мере расходования топлива масса ракеты уменьшается, а ускорение возрастает. Ускорение ракеты меняется следующим образом: после $2$ с полета оно $50$ м/с2, после $8$ с - $450$ м/с2. Стартовая масса ракеты $10 000$ кг. Какое количество топлива она израсходовала за первые $8$ с полета?

2.1.14.* Буксир тащит привязанную к нему тросом баржу. При какой мощности двигателя баржи трос еще не порвется, если он выдерживает натяжение не больше $T$. Сила сопротивления воды зависит от скорости движения буксира $v$ и определяется формулой $F = -kv$. Сила сопротивления воды для баржи в четыре раза больше, чем для буксира.

2.1.15. К потолку лифта, масса которого $m_2$, подвешен груз массы $m_1$ (см. рисунок). Приложенная сила $F$ заставляет лифт двигаться с ускорением вверх. Груз $m_1$ находится на расстоянии $l$ от пола лифта. Нить внезапно оборвалась. Чему равно ускорение лифта и груза $m_1$ до и после разрыва нити? Сколько времени пройдет от момента разрыва нити до удара о пол?

2.1.16. Ракета имеет пять одинаковых двигателей. Если работают сразу все, то ракета движется вертикально вверх с ускорением $2g$ относительно Земли. С каким ускорением будет подниматься ракета, если один из двигателей перестанет работать1? Влиянием сопротивления воздуха и изменением массы ракеты на ее движение можно пренебречь.

2.1.17.* Метеорологическая ракета массы $M$ стартовым ускорителем запускается вертикально с начальной скоростью $v_0$. Ракета также имеет собственный двигатель, который способен в течение времени $\tau$ развивать силу тяги $F, F > mg$. В какой момент времени должен начать работу двигатель, чтобы ракета достигла наибольшей высоты? Какова эта высота?

2.1.18.* Ракета имеет два двигателя, которые могут сообщать ей постоянные ускорения $a_1$ и $a_2$, направленные вертикально вверх. Первый двигатель рассчитан на работу в течение времени $t_1$, второй - $t_2$, причем $a_1 > a_2$ и $t_1 < t_2$. Двигатели могут включаться как одновременно, так и последовательно. Какой порядок включения двигателей следует выбрать для того, чтобы ракета поднялась на максимальную высоту? Чему она равна?

2.1.19. Сила, действующая на тело, линейно зависит от времени: $F = \alpha t$. Как меняется скорость тела под действием этой силы? Масса тела $m$.

2.1.20. Жесткий однородный стержень длины $l$ и массы $M$ поднимают вертикально, действуя силой $F$ на его верхний конец, как это показано на рисунке. Какая сила действует при этом на нижнюю часть стержня со стороны верхней части в сечении $AA^/$ отстоящем от нижнего конца стержня на расстояние $x < l$.

2.1.21. Жесткий стержень соединяет два бруска с массой $M = 100$ кг и $m = 1$ кг (см. рисунок). Если неподвижный стержень сжимать с силой больше $1000$ Н, то он ломается. а) С какой силой можно толкать вдоль стержня тело массы $M$, чтобы стержень не ломался? б) С какой силой можно толкать вдоль стержня тело массы $m$ так, чтобы стержень не ломался?

2.1.22. Два тела массы $m_1$ и $m_2$ связаны невесомой пружиной и подвешены на нити, как это показано на рисунке. Нить пережигают. Определите ускорение тел сразу же после пережигания нити.

2.1.23. Два одинаковых тела соединены друг с другом пружиной и подвешены на нитях так, как это показано на рисунке. Верхнюю нить пережигают. Найти ускорения тел в первый момент времени.

2.1.24. Определите ускорение артиллерийского снаряда массы $M$ после вылета из ствола орудия под углом $\alpha$ к горизонту, при наличии сопротивления воздуха $F$.

2.1.25. Определите ускорение и силу тяги ракеты массы $M$, движущейся по прямой под углом $\alpha$ к палубе ракетоносца, если струя газа отбрасывается ракетой под углом $\beta$ к направлению полета ракеты (см. рисунок).

2.1.26. Ракета массы $M$ движется в горизонтальной плоскости со скоростью $v$ по окружности радиуса $R$, как изображено на рисунке. Определите силу тяги этой ракеты.

2.1.27. Тело массы $m$, подвешенное на нити, отклоняют от положения равновесия на угол $\alpha$ и отпускают. Определите ускорение тела в первый момент времени.

2.1.28. С обрывистого берега высоты $H$ стартует ракета массы $M$. Сила тяги ракеты $F$ все время направлена горизонтально, как это показано на рисунке. На каком расстоянии по горизонтали ракета упадет в воду?

2.1.29. Стартуя с самолета, летящего горизонтально со скоростью $v$ на высоте $H$, реактивный снаряд массы $M$ развивает тягу $F$ под углом $\alpha$ к горизонту (см. рисунок). При этом $Fsin\alpha < Mg$. Определите дальность полета снаряда.

2.1.30.* Чтобы поразить цель, ракета массы $M$, стартовала под углом $\alpha$ к горизонту со скоростью $v_0$. Сразу включив постоянно направленную тягу под углом $2\alpha$ к горизонту, она выходит на горизонтальный участок полета (см. рисунок). Далее, изменив величину тяги, ракета движется горизонтально. Какая должна быть постоянная тяга на первом и втором участках пути, чтобы через время $T$ поразить цель на высоте $H$ и на расстоянии $L$ от места выстрела?

2.1.31. Ракету массы $M$, двигатель которой развивает силу тяги $F$, запускают в тот момент, когда над пусковой установкой на высоте $H$ со скоростью $v$ пролетает самолет (см рисунок). Под каким углом к горизонту должна лететь ракета, чтобы попасть в самолет?