Сборник задач. Углубленный уровень. КИНЕМАТИКА 7. Уравнение движения

          


КИНЕМАТИКА 7. Уравнение движения

1.7.1. Тело, брошенное вертикально верх в момент времени $t_0$ находилось на высоте $h$ и имело скорость $v$. На какой высоте находилось тело в момент времени $t$?

1.7.2. Колебания тела на пружине происходят с частотой $\omega_0$. В момент времени $t_0$ тело находилось на расстоянии $x_0$ от положения равновесия и скорость тела был равна $v_0$. Как скорость тела зависит от времени?

1.7.3. Через время $t$ после выстрела снаряд находился на высоте $h$ и на расстоянии $l$ по горизонтали от пушки. Определите время и дальность полёта снаряда.

1.7.4. Через промежуток времени $t$ угол наклона скорости снаряда к горизонту уменьшился с $\alpha$ до $\beta$. Как изменилась за это время высота полёта? Какое расстояние по горизонтали пролетел снаряд?

1.7.5. Брошенный камень в момент времени $t_1$ был на высоте $h_1$, а в момент $t_2$ - на высоте $h_2$. За этот промежуток времени камень пролетел в горизонтальном направлении расстояние $l$. Определите максимальную высоту подъёма и дальность полёта камня.

1.7.6. Уравнение движения тела, соскальзывающего с вершины сферического купола, при достаточно малых расстояниях по его вершине, имеет следующий вид: $х = A_+e^{\gamma t} + A_e^{-\gamma t}$, где $x$ - расстояние до вершины купола, а $А_{\pm}$ - постоянные, определённые условиями движения. Определите положение и скорость тела через время $t$ после того, как его положили на купол на расстоянии $x_0$ от вершины.

1.7.7. Найдите уравнение движения тела, торможение которого пропорционально скорости: $\ddot{x} = -\gamma \dot{x}$. Как будет меняться скорость тела, если в нулевой момент времени ему сообщили скорость $v_0$?

1.7.8.* В атмосфере Земли отрицательное ускорение метеорита пропорционально квадрату его скорости: $a = -\alpha v^2$. Метеорит влетает в атмосферу Земли со скоростью $v_0$. Через какое время эта скорость уменьшится в $2$ раза?

1.7.9.* Уравнение движения тела массы $m$, на пружине жёсткости $k$, при «жидком» трении определяется формулой:

$x = Ae^{-\gamma t}cos(\sqrt{\omega_0^2 - \gamma ^2 t} + \varphi)$,

где $х$ - отклонение от положения равновесия, $A$ и $\varphi$ - постоянные, определяемые начальными условиями, $\omega_0 = \sqrt{\frac{k}{m}} < \gamma$. Как зависит от времени $x$ для тела, которое в нулевой момент времени проходит положение равновесия со скоростью $v_0$?

1.7.10.* Для тела массы $m$, на пружине жесткости $k$ при «жидком» трении с $\gamma > \sqrt{\frac{k}{m}} = \omega_0$, уравнение движения имеет следующий вид:

$x = A_{+}e^{-\gamma + \sqrt{\gamma^2 - \omega^2}} + A_{-}e^{-\gamma - \sqrt{\gamma^2 - \omega^2}}$,

где $x$ — отклонение от положения равновесия, $A_{\pm}$ - постоянные, определённые начальными условиями. Телу в положении равновесия сообщили скорость $v_0$. Определите максимальное отклонение тела от положения равновесия. К какой величине стремится это отклонение при $\omega_0 \to 0$.