Сборник задач. Углубленный уровень. КИНЕМАТИКА 6. Преобразование Галилея

          


КИНЕМАТИКА 6. Преобразование Галилея

1.6.1. Пароход отчаливает от пристани со скоростью v. С какой скоростью удаляются от пристани объекты, выделенные на рисунке. Скорости этих объектов указаны на рисунке.

 

1.6.2. а) При нормальном упругом ударе шарика о неподвижную поверхность его скорость меняет направление, но величина скорости не меняется. Определите, во сколько раз изменится скорость шарика при нормальном упругом ударе о стенку, которая движется со скоростью в три раза меньшей, чем скорость шарика, в том же направлении, что и шарик (см. рисунок).

 olimp-1-6-2-2.jpg

б) Тело движется под углом 45° к плоскости стенки, как это изображено на рисунке. Стенка движется со скоростью u, которая перпендикулярна плоскости стенки. Скорость тела до удара о стенку v. Определите величину скорости тела после упругого удара о стенку.

в) Навстречу автомобилю «КАМАЗ» со скоростью 5,5 м/с летит упругий шарик. Скорость автомобиля «КАМАЗ» - 40 км/ч. Во сколько раз скорость шарика сразу же после удара будет больше скорости автомобиля «КАМАЗ»?

1.6.3. Две одинаковые космические станции летят навстречу друг другу со скоростями v и 5v. Определите скорости этих двух станций после их стыковки.

1.6.4. Крейсер движется со скоростью v, а миноносец со скоростью u (см. рисунок). Когда корабли были на расстоянии L, их скорости образовывали с линией, соединяющей корабли, углы a и b, соответственно. На каком минимальном расстоянии пройдут корабли друг от друга?

olimp-1-6-4.jpg

1.6.5. На рисунке изображены скорости четырёх зайцев, выпущенных Мазаем. Система координат выбрана такой, в которой Мазай неподвижен. Нарисуйте векторы скоростей остальных зайцев и Мазая в системе координат, в которой один из зайцев неподвижен.

olimp-1-6-5.jpg

1.6.6. * Одна из частиц пылевого облака (частица $A$) покоится, а все остальные разлетаются от неё в различные стороны со скоростями пропорциональными расстоянию от частицы $A$ (см. рисунок). Какую картину движения обнаружит наблюдатель, движущийся вместе с частицей $B$?

1.6.7.* Нить, привязанная концами к потолку и полу, проходит через тонкую прямую трубу, как это показано на рисунке. В некоторый момент времени труба составляет угол $\alpha$ с вертикалью и движется со
скоростью $\vec{v}$, которая направлена вниз. Участки нити вне трубы вертикальны. С какой скоростью движется в этот момент времени нить в трубе?

1.6.8. а) В U-образной тонкой трубе скользит нить (см. рисунок). Скорость входящего в трубу конца равна $\vec{v}$, выходящего - $\vec{u}$. С какой скоростью движется труба? б) Тонкая труба изогнута в виде почти замкнутой окружности. В этой трубе скользит упругая нить (см. рисунок). Скорость участка нити, входящего в трубу $\vec{v}$, скорость трубы $2\vec{v}$. Обе скорости одинаково направлены. С какой максимальной скоростью движется участок нити в трубе?

1.6.9. а) В поток космической пыли влетает шар радиуса R. Скорость пылинок $\vec{v}$, скорость шара перпендикулярна скорости пылинок и равна $\vec{u}$. Количество пылинок в единице объёма $n$, время пребывания шара в потоке $T$. Определите число пылинок, осевших на поверхности шара. б) Решить задачу а), если в поток влетел цилиндр радиуса $R$ и длины $L$. Ось цилиндра ориентирована вдоль его скорости. Как нужно изменить ориентацию цилиндра, чтобы количество пылинок, осевших на его поверхности, было максимальным?

1.6.10. С угла квадратного плота спрыгнул пёс и плывёт вокруг плота, двигаясь вдоль его сторон. Нарисуйте траекторию движения пса относительно берега, если скорость пса относительно воды составляет половину скорости течения.

1.6.11. При порывах ветра капли дождя, ранее падавшие из-за ветра под углом $\alpha$ к горизонту, падают под более острым углом $\beta$. Во сколько раз увеличивается скорость ветра при порывах?

1.6.12. Скорость самолёта относительно воздуха $u$. Во сколько раз изменится длительность рейса самолёта туда и обратно, проходящего по прямой, если в течение всего полёта под углом $\alpha$ к траектории дует ветер со скоростью $v$.

1.6.13. а) Дым из выхлопной трубы автомобиля, который движется со скоростью $v$ по просёлочной дороге, стелется под углом $\alpha$ к ней, а дым от костра - под углом $\beta$. Определите скорость ветра. б) Два корабля идут встречным курсом с одинаковой скоростью $v$. Дым от одного корабля стелется под углом $\alpha$, а от другого - под углом $\beta$ к трассе. Определите скорость ветра над морем. в) Решите задачу б) в случае, если скорость первого корабля $v_1$, а второго $v_2$.

1.6.14. На быстрине скорость течения реки $10$ м/с, а на разливе реки - $5$ м/с. Расстояние между берегами на быстрине $40$ м, на разливе $100$ м. Пловец плывёт прямо на берег. Где отнесёт его больше, - на разливе или на быстрине?

1.6.15. Тело отпускают в поле тяжести на высоте $h$ от горизонтально расположенной плиты, которая движется вниз со скоростью $u$, (см. рисунок). Определите время между последовательными ударами тела о плиту. Удары абсолютно упругие. Ускорение свободного падения $g$.

1.6.16. Двигаясь в поле тяжести, тело влетает со скоростью и под углом $\alpha$ к горизонту в пространство между двумя вертикальными пластинами, которые движутся с постоянной скоростью $u$, как показано на рисунке. Определите скорость тела, после $n$-го удара. Расстояние между стенками много больше размеров тела и равно $l$. Удары абсолютно упругие. Ускорение свободного падения $g$.

1.6.17. Ядра, движущиеся в пучке со скоростью $u$, распадаются на осколки. Экспериментатор измеряет скорости осколков, вылетающих в направлении, перпендикулярном пучку. Скорость осколков в этом направлении оказалась равной $\omega$. Нужно определить направление, в котором летят самые быстрые осколки и их скорость.

1.6.18. Ядро, летящее со скоростью $u$, распадается на два одинаковых осколка. Определите максимально возможный угол между скоростью одного из осколков и первоначальной скоростью ядра, если при распаде покоящегося ядра осколки разлетаются со скоростью $v$, $v < u$.

1.6.19. Имеется пучок одинаковых ядер, движущихся параллельно со скоростью $u$. Ядра в пучке самопроизвольно делятся на два одинаковых осколка. Скорость осколков, движущихся в направлении пучка, в $k$ раз больше скорости ядер. Найдите скорость осколков, движущихся в направлении, перпендикулярном пучку.

1.6.20. Скорость невязкой жидкости, падающей под углом $\alpha$ на жёсткую плоскость, вдали от места падения имеет одну и ту же величину, если скорость в падающей жидкости направлена вдоль струи (см. рисунок, а). Определить минимальную и максимальную скорость жидкости, если скорость падающей жидкости направлена поперёк струи (см. рисунок, б) и равна $\vec{u}$.

1.6.21. Две длинные и широкие пластины, расположенные под углом $2\alpha$ друг к другу, движутся со скоростью и по нормали к своим поверхностям. Найдите скорость струй, возникающих при столкновении пластин, если движение материала пластин рассматривать как движение идеальной жидкости.

1.6.22. Академик М. А. Лаврентьев рассказывал: «... В 1941 г. немцы придумали кумулятивный противотанковый снаряд. На конусе снаряда - запал. При ударе он вызывает детонацию и воспламеняет весь снаряд. Снаряд пробивает броню (см. рисунок, а). В 1944 г. такие снаряды попали в наши руки и руки союзников. Начался широкий эксперимент. При этом обнаружили много дополнительных эффектов и парадоксов. Стали выяснять - что же летит, что пробивает? Сперва думали, что этот снаряд бронепрожигающий, что броню пронзает струя горящего газа. Нет, оказалось, что летит металл, причём самым необъяснимым образом: перед плитой скорость около 8 км/с, внутри плиты 4 км/с, за плитой - снова 8 км/с (см. рисунок, б). Как это может быть? Ни механика, ни газовая динамика не могли дать ответа. А решение оказалось чрезвычайно простым! Даже математический аппарат уже был: за 15 лет до этого в гидродинамики уже была теория - теория жидких струй. И она целиком подошла к этой задаче. Дело в том, что при давлении в тысячи атмосфер прочность металла уже не важна. И как это ни парадоксально - железо можно считать жидкостью ...». Объясните это явление.