Сборник задач. Углубленный уровень. КИНЕМАТИКА 5. Кинематика твердого тела

          


КИНЕМАТИКА 5. Кинематика твердого тела

1.5.1. Скорость на краю наждачного диска vк =10 м/с. Радиус диска R = 20 см. Сколько оборотов он делает в секунду? Какова его угловая скорость? С какой скоростью движутся участки диска на расстоянии r = 10 см от оси вращения?

1.5.2. Цилиндрический снаряд, летящий в направлении своей оси со скоростью v, одновременно вращается вокруг этой оси с угловой скоростью w (см. рисунок). Определите минимальную и максимальную скорость на поверхности снаряда, если радиус снаряда R.

1.5.3. Определите скорость центра Земли, связанную с её вращением вокруг Солнца. Насколько может отличаться величина этой скорости от скорости на экваторе из-за движения Земли вокруг своей оси? Расстояние до Солнца 1,5×108 км, радиус Земли 6,4×103 км.

1.5.4. Луна обращена к Земле одной стороной. Расстояние от Земли до Луны 3,8×105 км, радиус Луны 1,7×103 км. Насколько отличается скорость поверхности Луны наиболее близкой к Земле и наиболее удалённой от нее?

1.5.5. а) Автомобиль движется без проскальзывания колёс со скоростью v0. Определите максимальную скорость на ободе колеса. б) Чему равны скорости верхних участков гусеницы трактора, который движется со скоростью v0? Как меняется скорость этих участков в зависимости от их расстояния до земли h, если радиус колеса трактора R?

1.5.6. Диск радиуса $R$ катится по плоскости со скоростью $v$. а) Определите скорости точек на ободе диска на уровне $\frac{R}{2}$ и $\frac{3R}{2}$ от поверхности. б) Определите минимальную и максимальную скорость точки, которая находится на расстоянии $r$ от центра диска, $r < R$. в) Чему равно ускорение точек на ободе диска; на расстоянии $r$ от центра диска, ($r < R$)?

1.5.7.* Как зависит ускорение точек на ободе колеса радиуса $R$ в верхней части обода и на уровне центра от его скорости, если колесо катится с ускорением $g_0$?

1.5.8. а) На каком расстоянии находятся соседние вершины траектории ( Эта траектория называется циклоидой от греч. - кругообразный круглый. На рисунке представлен пример циклоиды) точки обода диска радиуса $R$, который катится по плоскости (см. рисунок)? Как зависит радиус кривизны траектории от расстояния до плоскости?

б) Решите задачу а) для траектории точки, которая находится на расстоянии $r$ от центра диска, $r < R$.

1.5.9. Колесо радиуса $R$ катится по горизонтальной плоскости без проскальзывания (см. рисунок). От задней точки колеса, находящейся на уровне оси отрывается комочек грязи. С какой скоростью движется колесо, если комочек опустился на то же место, с которого он оторвался?

1.5.10. Человек держит один край длинной доски (см. рисунок). Второй её край лежит на круглой бочке. Человек, толкая доску, идёт к бочке. Какое расстояние он пройдёт, прежде чем приблизится к ней? Доска параллельна полу. Проскальзывание между доской и бочкой, бочкой и полом отсутствуют. Длина доски $L$.

1.5.11. Шарик радиуса $R$ находится между двумя параллельными плоскостями, одна из которых движется вправо со скорость $v$, а вторая - влево со скоростью $u$ (см. рисунок). Проскальзывания между плоскостями и шариком нет. С какой скоростью движется центр шарика? С какой угловой скоростью вращается шарик относительно оси, проходящей через его центр?

1.5.12.* По внутренней поверхности закреплённого цилиндра радиуса $2R$ катится без проскальзывания колесо радиуса $R$ (см. рисунок). Как зависит от времени скорость и ускорение точки обода? За начало отсчёта времени возьмём момент, когда точка соприкасается с поверхностью цилиндра.

1.5.13. Внутренний радиус подшипника $R$, внешний - ($R + 2r$) (см. рисунок). Определите скорость шариков, когда внешняя часть подшипника, которая опирается на шарики, двигается с угловой скоростью $\omega$, а внутренняя часть неподвижна. Проскальзывания шариков с поверхностями, с которыми они имеют контакт, нет.

1.5.14. Скорости концов палки длины $l$, равны $v$ и $2v$, перпендикулярны палке и направлены в разные стороны (см. рисунок). На каком расстоянии от ближайшего конца находится неподвижный участок палки?

1.5.15. Стержень длины $l$ упирается своими концами в стороны прямого угла. Нижний конец стержня движется со скоростью $v$ (см. рисунок). С какой скоростью движется верхний конец стержня и его центр, когда стержень образует угол $\alpha$ с нижней стороной угла?

1.5.16. Скорость точки $A$ твердого тела образует угол $\alpha$ с прямой $AB$, а точки $B$ - угол $\beta$ (см. рисунок). Скорость точки $A$ равна $v$. Чему равна скорость точки $B$, если обе скорости лежат в плоскости чертежа? Чем равна скорость в центре прямой $AB$?

1.5.17. Клин с углом $\alpha$, движущийся со скоростью $v$ по вертикальной стенке, заставляет двигаться по горизонтальной плоскости цилиндр радиуса $R$ (см. рисунок). С какой скоростью движется цилиндр? Чему равна угловая скорость цилиндра относительно его центра, если нет проскальзывания между цилиндром и горизонтальной плоскостью? Если нет проскальзывания между цилиндром и клином?