Сборник задач. Углубленный уровень. КИНЕМАТИКА 4. Движение с переменным ускорением

          

КИНЕМАТИКА 4. Движение с переменным ускорением

1.4.1. Стартуя, гонщик линейно наращивает ускорение своего автомобиля. Через время $t$ после старта, он имел скорость $v$. На каком расстоянии от старта он находился в это время, через время $3t$ после старта?

1.4.2. Ускорение сначала неподвижного тела в течение времени $t$ линейно увеличилось с $0$ до $a$, а затем с такой же скоростью уменьшилось до $0$. Определить максимальную скорость тела.

1.4.3. Зависимость ускорение ракеты изображена на рисунке. Определите скорость и расстояние ракеты от места старта в момент времени $t > t_2$.

1.4.4* Мальчик начал раздувать воздушный шарик и через время $t$ его радиус стал $R$. С какой скоростью в этот момент времени двигалась поверхность шарика, если считать, что объем шарика увеличивается равномерно?

1.4.5.* Через какое время исчезнет капля радиуса $R$, если с единицы поверхности в единицу времени испарился объём жидкости $q$?

1.4.6.* Из конической воронки с углом $\alpha$ при вершине конуса, через трубку радиуса $r$, со скоростью $v_0$, вытекает жидкость (см. рисунок). В нулевой момент времени уровень жидкости в воронке находится на расстоянии $h$ от вершины конуса. Как зависит от времени скорость движения уровня жидкости?

1.4.7.* Нефть, равномерно вытекающая из танкера, потерпевшего аварию, через время $t_0$ растеклась по воде вокруг него в радиусе $R$. Толщина слоя нефти $h$. Какой объём нефти в единицу времени вытекает из танкера? С какой скоростью увеличивается радиус пятна через время $t$ после аварии?

1.4.8. Через 2 с после толчка скорость лодки уменьшилась в два раза. Во сколько раз уменьшится скорость лодки через 10 с после толчка, если торможение лодки пропорционально её скорости?

1.4.9. Скользящая с постоянной скоростью шайба попадает на вязкую дорожку ширины $h$, на которой ускорение шайбы отрицательно и линейно зависит от скорости: $a = \alpha v$. На сколько уменьшится скорость шайбы после дорожки?

1.4.10.* а) Если шарик скатывается с горки, то его ускорение пропорционально расстоянию $x$ до вершины горки: $a = \alpha^2 x$ (см. рисунок). Докажите, что ускорение так зависит от расстояния $x$ до вершины горки, когда расстояние $x$ следующим образом зависит от времени: $x = C_1e^{\alpha t} + C_2e^{-\alpha t}$, где $C_1$ и $C_2$ - произвольные постоянные.

б) В задаче а), на вершине горки, шарик имеет скорость $v_0$. На каком расстоянии от вершины будет находиться шарик, и какую скорость он будет иметь спустя время $t$?

1.4.11. Определите, пользуясь рисунком к примеру 4.3, период колебания тела вблизи равновесия, если его максимальная скорость $v_0$, а максимальное отклонение от положения равновесия $x_0$.

1.4.12. Колеблющееся вблизи равновесия тело за время $0,01$ с сместилось на расстояние $0,5$ см от положения равновесия до наибольшего, равного $1$ см. Каков период колебания тела?

1.4.13. Зависимость скорости центра мяча при ударе его о стенку - полупериод косинусоиды: $v = v_0cos\omega t$, $0 < t < \frac{\pi}{\omega}$, если время отсчитывается от начала контакта мяча со стенкой. Определите путь, пройденный мячом по направлению к стенке, во время контакта с нею, пользуясь, рис. 4.3.

1.4.14. Горизонтальная мембрана совершает гармонические колебания по вертикали с частотой $\omega$ и амплитудой $A$. На мембране лежит грузик. При каких амплитудах $A$ он будет колебаться вместе с мембраной, а при каких начнёт подскакивать? Ускорение свободного падения равно $g$.

1.4.15.* а) Зависимость скорости тела от времени изображена на рисунке. Кривая линия на этом рисунке - четверть окружности. Начиная с момента времени $\tau$, тело движется с постоянной скоростью $v_0$. Определите путь, пройденный телом за время $t$, если $t > \tau$.

б) Зависимость ускорения тела от времени изображена на рисунке. Кривая линия на графике состоит из полуокружности. Начиная с момента времени $\tau$, тело движется с постоянным ускорением $а_0$. Определите скорость тела в момент времени $t$, если $t > \tau$.

1.4.16. Мотоциклист, движущийся со скоростью 72 км/ч, на повороте радиуса 200 м тормозит и через 20 с останавливается. Скорость на повороте вплоть до остановки мотоциклиста уменьшалась линейно от времени. Чему равно нормальное и полное ускорение в начале поворота?

1.4.17. а) Тело движется по окружности радиуса $R$ со скоростью, которая линейно зависит от времени: $v = a_0t$. Как зависит от времени полное ускорение тела?

б)* Решите задачу а) в случае, если скорость квадратично зависит от времени: $v = \alpha t^2$.

1.4.18.* По окружности радиуса $R$ движется тело, скорость которого пропорциональна времени $v = a_0 t$ (см. рисунок). В нулевой момент времени тело находилось на оси справа от центра окружности. Тело освещается светом, падающим перпендикулярно к оси $x$. Чему равна скорость и ускорение тени тела на оси $x$ в момент времени $t$.

1.4.19. Частица движется по спирали радиуса $R$, с шагом $h$. Чему равно ускорение частицы, если она движется по спирали с постоянной по величине скоростью $v_0$, если её скорость линейно увеличивается по закону $v = a_0t$?

1.4.20. Определить скорость линии пересечения двух лучей прожекторов, которые вращаются в противоположных направлениях с угловой скоростью $\omega$ в момент, когда угол к горизонту обоих прожекторов равен $\varphi$ (см. рисунок). Расстояние между прожекторами равно $2l$.

1.4.21. Автомобиль с включёнными фарами движется перпендикулярно стене. На расстоянии $L$ от стены он делает поворот радиуса $R$ (см. рисунок). Как зависит скорость световых пятен на стене от угла поворота автомобиля $\varphi$? Скорость автомобиля постоянна и равна $v$.

1.4.22.* По палочке, которая вращается вокруг точки $O$ так, как показано на рисунке, ползёт жук. Угловая скорость палочки $\omega$. Жук удаляется от центра $O$ со скоростью $v_0$. Определите скорость и ускорение жука на расстоянии $l$ от точки $O$.

1.4.23.* Бревно, упираясь нижним концом в угол между стенкой и землёй, касается дна грузовика на высоте $h$ от земли (см. рисунок). Длина бревна $t$. Определите скорость и ускорение верхнего конца бревна в зависимости от угла $\alpha$ между ним и горизонталью, если грузовик отъезжает от стены со скоростью $v$.

1.4.24. Бусинка может двигаться по кольцу радиуса $R$, подталкиваемая спицей, которая равномерно вращается с угловой скоростью $\omega$ в плоскости кольца (см. рисунок). Ось вращения спицы находится на кольце. Определите максимальное ускорение бусинки.

1.4.25*. Скорость протяжки магнитофонной плёнки $v_0$. Начальный радиус бобины (с плёнкой) $R$, а конечный (без плёнки) $r$. Толщин пленки $h$, $h << r$. Как зависит от времени радиус бобины? С какой скоростью он уменьшается?

1.4.26.* За лисой, бегущей прямолинейно с постоянной скоростью $v$, гонится собака со скоростью $u$, которая всегда направлена на лису. В момент, когда векторы скоростей собаки и лисы перпендикулярны, расстояние между ними $l$. С каким ускорением двигалась в это время собака?

1.4.27.* а) Четыре черепахи находятся в нулевой момент времени в вершинах квадрата со стороной ( (см. рисунок). Они двигаются с постоянной по величине скоростью $v$. Каждая черепаха движется по направлению к своей соседке по часовой стрелки. С каким ускорением двигаются черепахи в нулевой момент времени, в момент времени $t$.

б) Три черепахи находятся в нулевой момент времени в вершинах правильного треугольника со стороной $l$. Они двигаются с постоянной скоростью $v$, каждая по направлению к своей соседке (см. рисунок). Их движение происходит по часовой стрелке. Где встретятся черепахи, и в какой момент времени? С каким ускорением двигались черепахи в нулевой момент времени, в момент времени $t$?

1.4.28.* По палочке, которая вращается вокруг своего конца с угловой скоростью $\omega$, движется бусинка, удаляясь от центра со скоростью $u$ (см. рисунок). Как зависит радиус кривизны траектории бусинки от расстояния до центра вращения?