Подготовка к олимпиаде. Длинные задачи [21 - 25]

          

ДЛИННЫЕ ЗАДАЧИ [21 - 25]

Задача 21. «Смеситель»

Водопроводный смеситель холодной ($T_1 = 10 ^0C$) и горячей ($T_2 = 70 ^0C$) воды состоит из двух одинаковых труб $AB$ и $CB$, переходящих в удлинитель $BD$ (рис.1). Краны $K_1$ и $K_2$ регулируют расход $q$ (т.е. объем воды, проходящий через трубу в единицу времени) и температуру $T$ воды, выходящей из смесителя.

Опыт показывает, что расход воды через трубу $AB$ (или $CB$) пропорционален разности гидростатических давлений $p_A$ и $p_B$ на ее концах

$q = \alpha C(p_A – p_B)$,

где $\alpha$ — некоторый безразмерный коэффициент «открытия крана», принимающий значение от нуля (кран закрыт) до единицы (кран полностью открыт), а $C$ — некоторый постоянный размерный коэффициент для данной трубы.

Расход воды через удлинитель $BD$ также пропорционален разности давлений жидкости на его концах

$q = C(p_B – p_))$,

где $p_0$ — нормальное атмосферное давление на выходе из трубы в точке $D$ (см. рис. 1).

Давления в магистралях холодной $p_1 = p_A = 3,0 атм.$ и горячей $p_2 = p_B = 2,6 атм.$ труб поддерживаются постоянными. Воду будем считать несжимаемой жидкостью, а потери теплоты при прохождении смесителя — пренебрежимо малыми.

Если полностью открыть ($\alpha_1 = 1,0$) кран холодной воды при полностью закрытом кране горячей воды, то расход воды будет равен $q_1 = 1,4 \frac{л}{c}$.

3.1. Вычислите значение коэффициента $C$ и укажите его размерность.

3.2. Найдите расход $q_2$ воды при полном открытии крана с горячей водой (при закрытом втором кране).

3.3. Вычислите расход воды $q_3$ и ее температуру $T_3$ в случае, когда два крана открыть полностью ($\alpha_1 = \alpha_2 = 1,0$).

3.4. Найдите расход воды $q_4$ и ее температуру $T_4$ в случае, когда один кран холодной воды открыт на $\alpha_1 = 0,30$, а кран горячей — на $\alpha_2 = 0,70$.

3.5. В «час пик» при большом количестве пользователей давление $p_2$ в магистрали горячей воды может значительно упасть. При каком давлении $p_{2min}$ подача горячей воды в смеситель полностью прекратится, если кран холодной воды открыт на $\alpha_1 = 0,30$, а кран горячей — на $\alpha_2 = 0,70$?

Задача 22. «Прыгнем на Луну?»

Часто простейшие модели позволяют достаточно эффективно описывать сложные механические системы. Например, при прыжке человек приседает, слегка нагнувшись, затем толкается ногами, распрямляет корпус и, собственно, … взлетает! Попробуем описать этот процесс с помощью «гантельной» модели человека с нежесткой связью.

Представим человека в виде упрощенной механической модели, состоящей из двух одинаковых грузов некоторой массы, расстояние между которыми может регулироваться человеком сознательно по требуемому закону (Рис. 1). В рамках этой модели прыжок человека вверх описывается следующим образом: верхний груз опускают на расстояние $h = 30 см$ (человек приседает). Затем «включаются» «мышцы ног», развивающие постоянную вертикальную силу $F = \eta \cdot mg$, где $\eta$ — некоторый постоянный безразмерный «коэффициент перегрузки», действующую между грузами. По достижении верхним грузом исходного положения работа мышц прекращается, и расстояние между грузами при дальнейшем движении остается неизменным. Для расчета примите, что $\eta = 7,0$.

2.1 Вычислите максимальную высоту $H_1$, на которую поднимется нижний груз при подобном прыжке. Чему равно время $t_1$ отталкивания от плоскости? Вычислите КПЛ $K$ прыжка в рамках данной модели.

2.2 Предположим, что человек помещен на массивную горизонтальную платформу, совершающую гармонические колебания с амплитудой $A = 20 см$ и частотой $\nu = 1,0 Гц$ (Рис. 2). Человек может подпрыгнуть в произвольной точке траектории, причем можно считать, что параметры прыжка будут аналогичны параметрам в пункте 2.1 задачи. На какую максимальную высоту $H_2$ может подпрыгнуть человек с массивной платформы?

2.3 В рамках данной модели рассмотрим раскачивание человека на качелях длиной $L$ методом «сел-встал» (рис. 3). Суть метода проста: в одних нужных точках траектории нужно вставать, а в других — садится, причем в процессе движения человек от качелей не отрывается. Будем считать, что при вставании человека масса $m$ приближается к оси вращения на расстояние $h = 0,10L$ $(h << L)$, а при приседании она возвращается обратно. Предположим качели отклонили на угол $\alpha = 10^0$ и отпустили. На какой максимальный угол $\alpha$ могут отклониться качели за один период колебаний?

2.4 При тренировке космонавты крутят «солнышко», делая полный оборот в вертикальной плоскости на качелях длиной $L$. В нижней точке траектории угловая скорость вращения космонавта $\omega_0$. Методом «сел-встал», описанным в предыдущем пункте задачи, космонавт может изменить угловую скорость $\omega$ вращения качелей за один оборот. Причем это нужно делать циклически, возвращаясь в исходное положение в нижней точке траектории. На какую величину $\Delta \omega$ космонавт может увеличить угловую скорость вращения в нижней точке траектории методом «сел-встал» за один оборот качелей? Время вставания и приседания считайте достаточно малым.

Примечание: при вращательном движении в отсутствие моментов внешних сил справедлив закон сохранения момента импульса: произведение импульса $\vec{p}$ материальной точки на расстояние до оси вращения $\vec{r}$ есть величина постоянная

$m_1v_1r_1 = m_2v_2r_2 \iff m_1 \omega_1r_1^2 = m_2 \omega_2r_2^2$.

Задача 23. «Ионный кристалл».

Многие свойства кристаллов могут быть объяснены на основе законов классической физики. В данном задании вам необходимо оценить некоторые характеристики ионного кристалла, в качестве которого рассматривается кристалл поваренной соли $NaCl$.

Кристаллическая решетка поваренной соли является простой кубической, то есть ионы разных знаков (положительные $Na^+$ (относительная атомная масса $A_{rNa} = 23$) и отрицательные $Cl^-$ ($A_{rCl} = 35$)) расположены в узлах кубической решетки. Радиусы этих ионов приблизительно равны.

В данном задании эти ионы следует рассматривать как жесткие равномерно заряженные непроводящие сферы одинаковых радиусов. При расстояниях между ионами большими или равными диаметру иона взаимодействие между ними является чисто электростатическим

Часть 1. «Ионные радиусы».

Плотность поваренной соли равна $\rho = 2,16 \cdot 10^3 \frac{кг}{м^3}$. Определите средний ионный радиус рассматриваемых элементов.

Часть 2. «Растворимость»

2.1 Рассчитайте энергию взаимодействия одного иона кристалла со всеми остальными.

2.2 Кристаллы поваренной соли могут растворяться в различных жидкостях, полностью распадаясь на отдельные ионы. Оцените, какова должна быть минимальная диэлектрическая проницаемость жидкости $\epsilon_{min}$, чтобы соль могла растворяться в ней.

2.3 Диэлектрическая проницаемость воды равна $\epsilon = 81$. Рассчитайте удельную теплоту растворения (количество теплоты, выделяющейся при растворении единицы массы) поваренной соли в воде.

Заряд электрона $e = 1,6 \cdot 10^{-19} Кл$, постоянная Авогадро $N_A = 6,02 \cdot 10^{23} моль^{-1}$.

Диэлектрическая постоянная $\epsilon_0 = 8,85 \cdot 10^{-12} \frac{Ф}{м}$

При решении задачи Вам может пригодиться следующая сумма:

$\displaystyle\sum_{k=-\infty}^{+\infty}\displaystyle\sum_{l=-\infty}^{+\infty}\displaystyle\sum_{m=-\infty}^{+\infty}\frac{(-1)^{k+l+m}}{(k^2 + l^2 + m^2)^{1/2}} \approx -1,75$

Если же Вы столкнетесь с ещё какой-либо трудно вычисляемой суммой, обозначьте ее буквой, которая Вам нравится.

 Задача 24. «На автопилоте»

В данной задаче вам предстоит проанализировать различные аспекты управления автомобилем.

В качестве типичных взяты характеристики автомобиля «$ВАЗ-21063$»

– масса снаряженного автомобиля $m = 1,1 т$;

– максимальная мощность двигателя $P_{max} = 65 л.с.$;

– максимальная скорость по горизонтальной асфальтированной дороге $v_{max} = 100 \frac{км}{ч}$.

Для справки: $1 л.с. \approx 0,74 кВт; 1 ч = 3600 с; 1 км = 1000 м; 1 т = 1000 кг$.

Будем считать, что во время движения на автомобиль действуют

– сила сопротивления воздуха, которая пропорциональна квадрату скорости автомобиля

$F_{сопр} = \beta v^2$; (1)

– постоянная сила трения (которая включает в себя не только силу трения качения об асфальт, но силы трения внутренних деталей автомобиля) - $F_0$.

Водитель по своему усмотрению может регулировать мощность двигателя $P$ в пределах от нуля до максимального значения («полный газ»).

Часть I. «Ручное управление»

3.1. Запишите уравнения, описывающие ускорение автомобиля $a = \frac{\Delta v}{\Delta t}$ и скорость изменения его кинетической энергии $\frac{\Delta E}{\Delta t}$.

3.2. Для изучения характеристик автомобиля был поставлен следующий эксперимент: автомобиль разгонялся до скорости $v_0$, после чего отключался двигатель и измерялся путь $S$ автомобиля до полной остановки (без включения тормоза за отсутствием такового). Результаты эксперимента представлены в таблице и на графике, где нанесены как экспериментальные точки, так и аппроксимирующая кривая.

 

Используя приведенные данные, определите характеристики сил сопротивления: постоянную силу $F_0$ и коэффициент сопротивления $\beta$.

Рассчитайте отношение силы сопротивления воздуха при максимальной скорости автомобиля к силе постоянного трения $\gamma = \frac{\beta v_{max}^2}{F_0}$.

Независимо от полученного вами значения в дальнейших расчетах считайте, что $\gamma = 3,5$

3.3. Если двигатель работает с постоянной скоростью, то по прошествии некоторого времени автомобиль движется с постоянной скоростью, которую далее мы будем называть установившейся скоростью.

Постройте график зависимости установившейся скорости автомобиля при движении по горизонтальной дороге от мощности двигателя. По осям координат отложите относительные величины: отношение скорости автомобиля к его максимальной скорости $\eta = \frac{v}{v_{max}}$ и отношение мощности двигателя к его максимальной мощности $k = \frac{P}{P_{max}}$.

3.4. Используя полученный график, найдите скорость установившегося движения при постоянной мощности $P = 0,75P_{max}$, когда автомобиль поднимается по склону, образующему угол $\alpha = 5,0^0$ с горизонтом.

Определите также скорость установившегося движения автомобиля по горизонтальной дороге, если на его крыше помещен багажник, который увеличивает силу сопротивления воздуха на $20 %$.

3.5. Рассмотрим старт автомобиля. Пусть водитель, нажимая на педаль газа, равномерно увеличивает мощность автомобиля от нуля до максимального значения за время $\tau$.

С каким ускорением начинает двигаться автомобиль?

Рассчитайте численные значения этого ускорения для $\tau = 10 c$ и $\tau = 1,0 c$.

3.6. Пусть автомобиль движется по горизонтальной дороге с постоянной скоростью $v = \eta v_{max}$, затем водитель «дает полный газ».

Оцените характерное время разгона автомобиля до максимальной скорости.

Рассчитайте численное значение этого времени для $\eta = 0,75$.

Часть II. «Автоматическое управление»

Для поддержания постоянной скорости автомобиля $u$ (конечно, меньшей максимальной) в автомобиле установлен «автопилот», регулирующий скорость изменения мощности двигателя в зависимости от требуемой скорости $u$ и текущей скорости $v$. «Закон управления» мощностью предельно прост:

$\frac{\Delta P}{\Delta t} = C(u - v)$. (2)

3.7. Покажите, что при таком управлении скорость автомобиля будет стремиться к требуемой скорости $u$, как при случайном изменении скорости автомобиля, так и при изменении его характеристик – силы постоянного трения, коэффициента сопротивления воздуха, движении по наклонной дороге и т.д. При каких значениях постоянного параметра управления $C$ такое управление возможно? По каким критериям следует выбирать оптимальное значение этого параметра?

3.8. Пусть автомобиль движется с постоянной скоростью $u$, а затем его скорость резко уменьшилась (мощность двигателя за время изменения скорости измениться не успела). Постройте схематические графики изменения мощности двигателя и скорости автомобиля от времени после скачкообразного изменения скорости. Рассмотрите несколько различных случаев, отличающихся значением параметра управления $C$.