Подготовка к олимпиаде. Длинные задачи [16 - 20]

          

ДЛИННЫЕ ЗАДАЧИ [16 - 20]

Задача 16. «Центрированная оптическая система».

Опишите прохождение световых лучей через центрированную оптическую систему состоящую из сферических преломляющих поверхностей, центры которых лежат на одной прямой, которая называется оптической осью системы. Заметим, что таким системам относятся телескопы, микроскопы, фотоаппараты, диапроекторы, глаза человека и т.д. Такие системы обладают осевой симметрией, поэтому достаточно рассмотреть ход лучей в одной плоскости, содержащей оптическую ось.

Пусть (см. рис. 1) $OO_1$ — оптическая ось системы, проведем произвольную плоскость $P$, перпендикулярную оси. Произвольный луч $AB$, пересекающий плоскость $P$ однозначно определяется двумя параметрами: $x$ — расстоянием от оптической оси до точки пересечения луча и плоскости, $\alpha$ — углом между направлением луча и оптической осью (договоримся отсчитывать этот угол в направлении «против хода часовой стрелки»). Очевидно, что параметры луча ($x, \alpha$) могут быть как положительными так и отрицательными. Кроме того, будем полагать их малыми настолько, что везде, где это необходимо, будем считать синус и тангенс угла  равным величине самого угла, естественно, измеренному в радианах. Такое приближение называется параксиальным (близким к оси). В данном приближении в любой центрированной системе связь между параметрами одного и того же луча в разных плоскостях линейна, сколько бы преломляющих поверхностей не находилось между ними. Рассмотрите изменение этих параметров, когда луч проходит через следующие простые элементы оптической системы.

1. Участок пустого пространства. Пусть между двумя плоскостями $P_0$ (входной) и $P_1$ (выходной), находящихся на расстоянии $d$ друг от друга, преломляющих поверхностей нет (рис. 2). Установите связь между выходными ($x_1, \alpha_1$) и входными ($x_0, \alpha_0$) параметрами луча.

2 Сферическая преломляющая поверхность. Луч преломляется на сферической поверхности радиуса $R$, за которой находится среда с относительным (второй среды относительно первой) показателем преломления $n$. Установите связь между выходными ($x_1, \alpha_1$) и входными ($x_0, \alpha_0$) параметрами луча.

3. Тонкая линза. Линза представляет собой две сферические поверхности, она считается «тонкой», если можно пренебречь горизонтальным смещением луча в самой линзе, иными словами, если ее толщина значительно меньше радиусов кривизны ее поверхностей. Покажите, что связь между выходными ($x_1, \alpha_1$) и входными ($x_0, \alpha_0$) параметрами луча, прошедшего через тонкую линзу, с радиусами кривизны поверхностей $R_1, R_2$ и показателем преломления $n$, выражается формулами

$x_1 = x_0$,

$\alpha_1 = -(n - 1) \cdot (\frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2}) \cdot x_0 + \alpha_0$.

4. Используя результаты п. $3$, получите формулу для фокусного расстояния $F$ тонкой линзы.

5. Получите «формулу тонкой линзы», связывающую расстояние от предмета до линзы a с расстоянием от линзы до изображения $b$:

$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{F}$.

6. Рассмотрите оптическую систему состоящую из двух сферических зеркал, повернутых навстречу друг другу (рис. $3$). Обозначим радиусы кривизны одного зеркала $R_1$ (его центр точка $O_1$); другого — $R_2$ (центр — $O_2$); расстояния между зеркалами — $d$. Цель исследования — выяснить при каких параметрах системы произвольный световой луч $AB$ не будет покидать данную оптическую систему.

Рассматриваемая нами система является оптическим резонатором, повсеместно используемым в оптических квантовых генераторах (лазерах). Если для него выполняется условие задачи, то такой резонатор называется устойчивым, в противном случае неустойчивым.

Заменим систему зеркал на бесконечную цепочку линз (рис. $4$), фокусные расстояния которых равны фокусным расстояниям зеркал, которые, в свою очередь, известны:

$F_1 = \frac{R_1}{2}; F_2 = \frac{R_2}{2}$.

Понятно, что такая система полностью эквивалентна резонатору.

6.1 Используя линейные преобразования, полученные ранее, запишите формулы преобразований для произвольного луча за полный проход резонатора. Выразите формулы этих преобразований через безразмерные параметры, определяющие геометрию оптической системы

$\xi_1 = 1 - \frac{d}{R_1}; \xi_2 = 1 - \frac{d}{R_2}$.

6.2 В некоторых случаях явные выражения для параметров луча могут быть представлены в виде $x_n = A \cdot \gamma^n; y_n = B \cdot \gamma^n;$, где $\gamma$   некоторая постоянная. Выразите возможные значения этого параметра параметры системы $\xi_1, \xi_2$.

При каком соотношении между параметрами $\xi_1, \xi_2$, резонатор будет устойчивым? Изобразите область устойчивости на диаграмме ($\xi_1, \xi_2$).

Задача 17. «Радуга».

«Объясняя» возникновение радуги, авторы учебных пособий весьма часто ограничиваются указанием на то, что это замечательное природное явление демонстрирует явление дисперсии света. Иногда приводят типичный рисунок двойного преломления луча света в сферической капле воды (рис. 1), позаимствованный еще из работы Р.Декарта. Приведенные утверждения справедливы: действительно изображение радуги формируют солнечные лучи дважды преломившиеся на поверхности капли (и конечно, один раз отразившиеся от ее внутренней поверхности); действительно показатель преломления воды зависит от длины волны падающего света, поэтому углы выхода лучей из капли различны для различных длин волн. Однако объяснение и описание радуги не столь просто, как это кажется на первый взгляд, хотя эффекты данного явления вполне объяснимы в рамках геометрической оптики.

Рассмотрим прохождение лучей через сферическую каплю.

Назовем оптической осью прямую $O_1O_2$, проходящую через центр капли и параллельную падающему лучу $S_0$. Обозначим:

$S_1$ — луч, сразу отразившийся от поверхности капли;

$S_2$ — луч, испытавший два преломления на поверхности капли;

$S_3$ — луч, испытавший два преломления и одно отражение внутри капли;

$S_4$ – луч, испытавший два преломления и два отражение внутри капли.

Углы, под которыми лучи отходят от капли $\theta_1$, $\theta_2$, $\theta_3$, $\theta_4$, будем отсчитывать от оптической оси. Назовем прицельным параметром $\rho$ отношение расстояния между падающим лучом и оптической осью к радиусу капли. (Для лучей, падающих на каплю, этот параметр изменяется от $–1$ до $+1$).

1. Найдите зависимости углов, под которыми лучи отходят от капли $\theta_1$, $\theta_2$, $\theta_3$, $\theta_4$, от прицельного параметра $\rho$.

2. Покажите, что зависимости углов $\theta_1$, $\theta_2$ от прицельного параметра $\rho$ являются монотонными. Покажите, что для лучей $S_3, S_4$ существуют минимальные значения углов отклонения $\theta_3$, $\theta_4$. Найдите значения этих минимальных углов.

3. Покажите, что лучи, вышедшие из различных капель под одинаковыми углами к оптической оси, расположенных в разных точках пространства, дают изображение на сетчатке глаза в виде дуги окружности. Постройте ход этих лучей в глазу человека.

4. Покажите, что минимальным углам отклонения соответствует яркая граница, которая определяет угловой размер радуги.

5. Вычислите угловой наблюдаемый размер $\alpha$ основной и вторичной радуги. (На рис. 3 показана только одна из них).

6. Вычислите угловую ширину $\delta \alpha$ каждой дуги радуги.

Значения показателя преломления воды, для различных длин волн.

Задача 18. Интерференция.

В интерференционной схеме Юнга две узкие параллельные щели $S_1$ и $S_2$, расстояние между которыми равно $a$, освещаются плоской волной, падающей нормально на экран со щелями. На расстоянии $L$ (L >> a) расположен экран, на котором наблюдается интерференционная картина. Исследуется зависимость интенсивности света на этом экране от координаты $x$ (x << L) - расстояния до оси симметрии системы.

1. Щели освещены монохроматической волной с длиной волны $\lambda$. Найдите распределение интенсивности света на экране. Определите ширину интерференционной полосы (расстояние между двумя последовательными максимумами интенсивности).

2. Пусть щели освещены двумя монохроматическими волнами равной интенсивности с близкими длинами волн $\lambda$ и $\lambda + \Delta \lambda$ ($\Delta \lambda << \lambda$). Опишите распределение интенсивности света на экране в этом случае.

3. Щели осветили немонохроматическим излучением, содержащим непрерывный спектр длин волн, лежащих в узком интервале от  до $\lambda_0 + \Delta \lambda$ $(\Delta \lambda << \lambda_0)$. Опишите распределение интенсивности света на экране в этом случае.

4. Рассмотрим следующую модель частично когерентного света. Световой поток представим в виде случайной совокупности цугов - ограниченных во времени и пространстве участков синусоидальных волн. Все цуги имеют одинаковую частоту, амплитуду и длительность $\tau$. Однако начальные фазы колебаний изменяются от цуга к цугу случайным образом.

Опишите интерференционную картину на экране в интерференционной схеме Юнга, если щели освещены частично когерентным светом, модель которого представлена выше. Покажите, что качественно интерференционная картина совпадает с картиной, описанной в п. $3$. Установите связь между величинами $\tau$ и $\Delta \lambda$ (а также с шириной спектра $\Delta \nu$), чтобы две описанные интерференционные картины качественно совпадали.

Задача 19. «Запаздывание».

Все взаимодействия, все сигналы распространяются с конечной скоростью, поэтому любая воспринимаемая нашими органами чувств и приборами информация  «запаздывает»: то, что мы видим «сейчас», на самом деле произошло «раньше». Нам повезло – скорость света настолько велика, что упомянутое «запаздывание» практически не оказывает никакого влияния на наше поведение. Тем, не менее, в некоторых случаях его необходимо учитывать. Этой проблеме и посвящена данная задача.

Положение некоторого движущегося тела $A$ (объекта наблюдения) с помощью сонара (звукового радара) $S$. Сонар посылает очень короткий звуковой сигнал в виде изотропной сферической волны и улавливает отраженную от тела волну. Скорость распространения волны известна и равна $c$.

Сонар фиксирует следующие величины:

время, когда послан сигнал – $t_0$;  время прихода отраженной волны – $\tau$; направление на точку, из которой пришел отраженный сигнал, задаваемое с помощью угла $\varphi$.

Будем считать, сигналы сонара каким-то образом различаются, поэтому компьютер сонара в момент регистрации отраженного сигнала, точно «знает», когда именно этот сигнал был послан. Затуханием сигнала можно пренебречь.

Введем систему координат $xOy$, начало которой совместим с сонаром. Будем рассматривать тела, движущиеся в этой плоскости.

Для определения положения тела приняты следующие правила: положение тела в момент прихода отраженного сигнала  задается измеренным углом $\varphi$, а расстояние до него рассчитывается по формуле

$r^/ = c \cdot \frac{\tau – t_0}{2}$. (1)

Определенное по этим правилам положение тела будем называть изображением объекта.

1. Пусть наблюдаемое тело движется равномерно вдоль оси . Закон движения тела имеет вид

$x = x_0 + v_0t$. (2)

1.1 Определите скорость движения изображения тела.

1.2 Найдите закон движения  изображения.

2. Наблюдаемое тело движется равноускоренно  вдоль оси $Ox$. Закон движения тела имеет вид 

$x = \frac{at^2}{2}$. (3)

2.1 Определите скорость и ускорение движения изображения тела, как функции времени. Постройте примерные графики этих зависимостей.

2.2 Найдите закон движения изображения.

3. Наблюдаемое тело движется в плоскости $xOy$ по закону известному закону

$x = x(t); y = y(t)$. (4)

3.1 Получите общее уравнение, связывающее время отправления сигнала $t_0$ и время прихода отраженного сигнала $\tau$.

3.2 Покажите, что траектория движения изображения совпадает с траекторией движения тела.

3.3 Считая, что скорость сигнала значительно превышает скорость движения наблюдаемого тела и время распространения сигнала также является малой величиной, получите приближенные явные выражения для определения координат изображения, учитывающие малые поправки, связанные с запаздыванием, только первого порядка по  малому параметру $\gamma = \frac{v}{c}$.

4. Пусть наблюдаемое тело движется по закону  

$x = v_0t; y = l$. (5)

4.1 Найдите зависимость скорости движения изображения тела от времени. Постройте примерный график этой зависимости.

4.2 Найдите зависимость скорости движения изображения тела от его наблюдаемой координаты $x^/$. Постройте примерный график этой зависимости.

5. Предложите правила определения закона движения тела, дающие точный результат при определении закона движения наблюдаемого объекта.

Задача 20. «Конус Маха»

Движение со сверхзвуковой скоростью – давняя мечта авиаконструкторов. Однако при таких скоростях возникает ряд неожиданных эффектов, исследовать которые – ваша задача.

1. Самолет движется горизонтально на высоте $h$ над поверхностью земли (Землю считайте плоской) с постоянной скоростью . Наблюдатель находится в точке  на поверхности земли. Совместим ось с траекторией движения самолета, ось  направим вертикально, проходящую через точку наблюдателя. Закон движения самолета запишем в виде

$x = v \cdot t$. (1)

Скорость звука в воздухе известна и равна $c$.

1.1 В какой момент времени $\tau$ звуковая волна, испущенная самолетом в точке с координатой $x$, достигнет наблюдателя?

1.2 Постройте примерные графики зависимости времени прихода волны от координаты точки ее испускания $\tau (x)$ для значений следующих скорости самолета:

$v_1 = 0,10c; v_2 = 0,5c; v_3 = c; v_4 = 1,5c; v_5 = 2,0c$.

Считайте, что $t \in [-\infty, +\infty]$.

2. «Гудящий» самолет начинает двигаться из начала координат в момент времени $t = 0$. Временем разгона самолета можно пренебречь.

2.1 Определите область пространства (множество точек $(x, y)$), до которой дошла звуковая волна к моменту времени $t$. Для аналитического описания этой области можете выбрать ту форму, которая вам нравится.

2.2 Постройте эту область для следующих значений скорости движения самолета:

$v_1 = 0,5c; v_3 = c; v_5 = 2,0c$.

3. В качестве характеристики звуковой волны примем отклонение давления воздуха $\Delta p$ от среднего давления. Будем также считать, что неподвижный самолет испускает сферическую монохроматическую волну с частотой $\nu_0$. Пусть самолет движется так, как описано в пункте 1. Считайте, что амплитуда звуковой волны убывает обратно пропорционально расстоянию до источника.

3.1 Запишите выражение для величины $\Delta p$ в точке наблюдения, как функцию времени.

3.2 Постройте примерный график зависимости частоты звука, воспринимаемого наблюдателем, от времени. Предварительно дайте ваше определение «частоты в данный момент времени». Рассмотрите следующие значения скорости движения самолета:

$v_1 = 0,5c; v_3 = c; v_5 = 2,0c$.

3.3 Пусть звук самолета пришел из точки $A$, направление на которую задается углом $\alpha$ над горизонтом. Найдите зависимость частоты пришедшего звука от этого угла.

4. Узкий пучок электронов движется в воде со скоростью $v = 0,90c$, где $c$ - скорость звука в вакууме. Торможением электронов можно пренебречь. Показатель преломления воды $n = 1,33$. При движении электронов возникает свечение Вавилова – Черенкова. На оси пучка и перпендикулярно ему расположена собирающая линза радиуса $r = 5,0 см$ с фокусным расстоянием $F = 50 см$, на расстоянии $a = 45 см$ за ней плоский экран.

Укажите область экрана, освещенную, благодаря излучению электронов.