Подготовка к олимпиаде. Длинные задачи [11 - 15]

          

ДЛИННЫЕ ЗАДАЧИ [11 - 15]

Задача 11. Проводники и диэлектрики.

1. Электростатическое поле создается двумя точечными зарядами, находящимися на расстоянии $l$ друг от друга. Величины и знаки зарядов различны и равны $q_1$ и $-q_2$. Покажите, что поверхность нулевого потенциала этого поля представляет собой сферу, найдите ее радиус.

2. Точечный заряд $q$ расположен на расстоянии $l$ от центра металлической заземленной сферы радиуса $R$. Найдите:

– суммарный индуцированный заряд сферы;

– силу взаимодействия заряда и сферы.

3. Точечный заряд $q$ расположен на расстоянии $l$ от центра металлической изолированной сферы радиуса $R$. Найдите:

– индуцированный дипольный момент сферы;

– силу взаимодействия заряда и сферы.

4. Точечный заряд $q$ находится на расстоянии $h$ от бесконечной плоской проводящей пластины. Найдите:

– распределение поверхностной плотности индуцированных зарядов на платине;

– силу взаимодействия заряда и пластины;

– энергию взаимодействия заряда и пластины;

5. Внутри равномерно заряженного шара с объемной плотностью заряда $\rho$ вырезана сферическая полость, центр которой находится на расстоянии $a$ от центра шара. Найдите напряженность электрического поля в полости.

6. Металлический шарик радиуса $r$ помещен в однородное электрическое поле напряженности $\vec{E}$. Найдите:

– распределение поверхностной плотности зарядов на шарике;

– индуцированный дипольный момент шарика.

7. «Газ» состоит из одинаковых металлических шариков радиуса $r$, концентрация которых равна $n$. Среднее расстояние между шариками значительно больше их радиусов. Найдите диэлектрическую проницаемость такого «газа».

Указание. Воспользуйтесь соотношением $\varepsilon \cdot \varepsilon_0 \cdot \vec{E} = \varepsilon_0 \cdot \vec{E} + \vec{P}$, где $\vec{P}$ – поляризация среды (дипольный момент единицы объема).

Диэлектрическая проницаемость воздуха при нормальных условиях равна $\varepsilon = 1,00058$. Оцените средний размер молекул воздуха.

8. Точечный заряд $q$ находится на расстоянии $h$ от бесконечной плоской границы с бесконечным диэлектриком с проницаемостью $\varepsilon$. Найдите

– распределение поверхностной плотности поляризационных зарядов на платине;

– силу взаимодействия заряда и пластины.

9. Шар радиуса $r$, изготовленный из диэлектрика с проницаемостью $\varepsilon$, помещен в однородное электрическое поле напряженности $\vec{E}$. Найдите:

– распределение поверхностной плотности зарядов на шарике;

– индуцированный дипольный момент шарика.

10. Небольшой шарик радиуса $r$, изготовленный из диэлектрика с проницаемостью $\varepsilon$, находится на большом расстоянии $l$ ($l >> r$) от точечного заряда $q$. Найдите силу, действующую на шарик со стороны заряда.

Задача 12. Почти бесконечная цепочка. Цепочка резисторов состоит из $N$ одинаковых звеньев и подключена с одной стороны к источнику постоянного напряжения $U_0$, а с другой к источнику постоянного напряжения $U_1$.

Для построения требуемых графиков используйте следующие значения параметров $R_2 = 20R_1, U_0 = 2U_1$.

1. Найдите значения напряжений на всех резисторах $R_2$. Постройте схематический график зависимости напряжения от номера резистора.

2. Найдите значения напряжений на резисторах $R_2$, если источник $U_1$ отключить. Постройте схематический график зависимости напряжения от номера резистора.

3. Найдите значения напряжений на резисторах $R_2$, если источник $U_1$ заменить на резистор сопротивлением $r$.

4. Найдите значения напряжений на всех резисторах $R_2$ при $N \to \infty$.

5. Найдите сопротивление цепи, состоящей из $N$ звеньев. Рассмотрите случай $N \to \infty$.

6. Допустимая погрешность расчета сопротивления цепи, состоящей из $N$ звеньев равна $\varepsilon$ ($\varepsilon << l$). При каком числе звеньев цепочку можно считать бесконечной? Получите результат в общем виде, а затем проведите численный расчет для а) $R_2 = 20R_1$; б) $R_2 = 2R_1$ при предельной погрешности $\varepsilon = 1$ %.

7. Данная задача является прекрасной моделью для описания кабеля с небольшой утечкой. При этом сопротивления $R_1$ описывают собственное сопротивление кабеля, а $R_2$ — сопротивление окружающей среды, по которой возможна некоторая утечка электрического тока.

Очень длинный медный провод диаметром $a = 1$ мм, покрытый слоем лака толщиной $h = 20$ мкм, находится в хорошо проводящей среде. Потенциал одного конца провода поддерживают равным $\varphi_0 = 100$ В. Найдите зависимость силы тока в проводе от расстояния до источника $x$. Чему равна сила тока, потребляемая от источника? На каком расстоянии сила тока уменьшится в два раза?

Удельное электрическое сопротивление меди принять равным $\rho_1 = 2 \cdot 10^{-8}$ Ом $\cdot$ м, удельное электрическое сопротивление покрывающего лака $\rho_2 = 2 \cdot 10^{8}$ Ом $\cdot$ м.

Задача 13. «Как гроб Магомета» Вертикальная катушка содержит $N$ витков, высота катушки $H$, ее радиус $a$. На оси катушки находится тонкий деревянный стержень толщиной $b$, $b << a$, по которому может скользить без трения проводящее кольцо, радиус которого чуть превышает радиус стержня. Электрическое сопротивление кольца $R$, индуктивность $L$, масса $m$. Если по катушке протекает переменный электрический ток круговой частоты $\omega$ с амплитудным значением силы тока $I_0$, то кольцо приподнимается над катушкой.

В пунктах (1) - (4) считать, что по катушке протекает постоянный электрический ток силой $I$.

1. Найдите величину индукции магнитного поля, создаваемого одним витком катушки, на оси витка в зависимости от расстояния до центра витка.

2. Найдите зависимость индукции магнитного поля B на оси катушки от расстояния до нее $h$. При вычислениях воспользуйтесь формулой

$\int \frac{dx}{(a^2 + x^2)^{3/2}} = \frac{x}{a^2\sqrt{a^2 + x^2}}$.

3. Считая, что $h << a << H$, представьте полученное выражение для индукции поля в приближенном виде $B = B_0(1 + \beta \cdot h)$.

Найдите значения постоянных $B_0$ и $\beta$.

В дальнейших пунктах используйте это приближенное выражение.

4. Найдите горизонтальную составляющую индукции магнитного поля на малом расстоянии $b$ от оси катушки на высоте $h$.

Далее будем считать, что по катушке протекает переменный электрический ток круговой частоты $\omega$ с амплитудным значением силы тока $I_0$.

5. Пусть кольцо находится на высоте $h$. Найдите значение силы тока в кольце и сдвиг фаз между током в кольце и током в катушке.

6. Найдите среднюю силу, действующую на кольцо, со стороны магнитного поля.

7. Считая высоту подъема кольца малой по сравнению с высотой катушки, покажите, что зависимость высоты подъема кольца от силы тока в катушке имеет вид $h = A - \frac{B}{I_0^2}$. Запишите выражения для параметров $A$, $B$.

Задача 14. «Перемычка на рельсах»

1. На двух проводящих горизонтальных параллельных рельсах, находящихся на расстоянии $l$ друг от друга, перпендикулярно рельсам расположена проводящая перемычка массы $m$, которая может скользить по рельсам без трения. Вся система помещена в однородное вертикальное магнитное поле индукции $B$. Рельсы соединили с помощью резистора сопротивлением $R$, а к перемычке приложили постоянную горизонтально направленную силу $F$. Пренебрегая сопротивлением перемычки и рельсов и индуктивностью контура, найдите скорость установившегося движения перемычки.

2. В системе, описанной в п. 1, резистор заменили на конденсатор емкости $C$. Как будет двигаться перемычка в этом случае?

3. Замените в рассматриваемой системе конденсатор на катушку индуктивностью $L$ и определите характер движения перемычки в этом случае.

4. В установке, описанной в п. 1, перемычка покоится на некотором расстоянии $x_0$ от резистора. Внешняя сила не действует, первоначально магнитного поля нет, а затем достаточно быстро включают вертикальное однородное магнитное поле индукции $B$. Как изменится расстояние между перемычкой и резистором по прошествии большого промежутка времени.

Задача 15. «Фокусировка». В различных приборах для фокусировки заряженных частиц используется магнитное поле. В данной задаче изучаются условия фокусировки частиц.

1. Частица массы m влетает в магнитное поле индукции $B$ со скоростью v, направленной под углом $\gamma$ к вектору индукции поля. Покажите, что траектория частицы является цилиндрической спиралью, определите ее радиус $R$ и шаг $h$.

2. Пучок частиц массы $m$ вылетает из узкой щели, расположенной в плоскости $XY$. Скорости всех частиц равны v и направлены в пределах плоского малого угла $2\alpha_0$, биссектриса которого перпендикулярна плоскости $XY$. Над плоскостью создано однородное магнитное поле индукции $B$, направленное параллельно пластине. Считая, что вектора скоростей всех частиц направлены перпендикулярно вектору индукции поля, покажите, что частицы будут фокусироваться на пластине. Определите положение и ширину полосы, в пределах которой частицы будут попадать на пластину.

3. Определите форму и размеры области попадания частиц на пластину в условиях, описанных в п. 2, если вектора скоростей частиц направлены внутри конуса с углом полураствора $\alpha_0$.

4. Пучок частиц массы $m$, влетает из одной точки в однородное магнитное поле индукции $B$, направленное вдоль оси $Z$. Скорости частиц равны $v$, а вектора скоростей частиц направлены внутри конуса с углом полураствора $\alpha_0$, ось которого совпадает с направлением вектора индукции поля. Найдите ширину пучка как функцию координаты $z$. Считая угол $\alpha_0$ малым, найдите на каком расстоянии от источника частицы сфокусируются. Оцените ширину пучка в области фокуса.