Опубликовано чт, 10/03/2019 - 13:29 пользователем fizportal.ru ДЛИННЫЕ ЗАДАЧИ [11 - 15] Задача 11. Проводники и диэлектрики. 1. Электростатическое поле создается двумя точечными зарядами, находящимися на расстоянии $l$ друг от друга. Величины и знаки зарядов различны и равны $q_1$ и $-q_2$. Покажите, что поверхность нулевого потенциала этого поля представляет собой сферу, найдите ее радиус. 2. Точечный заряд $q$ расположен на расстоянии $l$ от центра металлической заземленной сферы радиуса $R$. Найдите: – суммарный индуцированный заряд сферы; – силу взаимодействия заряда и сферы. 3. Точечный заряд $q$ расположен на расстоянии $l$ от центра металлической изолированной сферы радиуса $R$. Найдите: – индуцированный дипольный момент сферы; – силу взаимодействия заряда и сферы. 4. Точечный заряд $q$ находится на расстоянии $h$ от бесконечной плоской проводящей пластины. Найдите: – распределение поверхностной плотности индуцированных зарядов на платине; – силу взаимодействия заряда и пластины; – энергию взаимодействия заряда и пластины; 5. Внутри равномерно заряженного шара с объемной плотностью заряда $\rho$ вырезана сферическая полость, центр которой находится на расстоянии $a$ от центра шара. Найдите напряженность электрического поля в полости. 6. Металлический шарик радиуса $r$ помещен в однородное электрическое поле напряженности $\vec{E}$. Найдите: – распределение поверхностной плотности зарядов на шарике; – индуцированный дипольный момент шарика. 7. «Газ» состоит из одинаковых металлических шариков радиуса $r$, концентрация которых равна $n$. Среднее расстояние между шариками значительно больше их радиусов. Найдите диэлектрическую проницаемость такого «газа». Указание. Воспользуйтесь соотношением $\varepsilon \cdot \varepsilon_0 \cdot \vec{E} = \varepsilon_0 \cdot \vec{E} + \vec{P}$, где $\vec{P}$ – поляризация среды (дипольный момент единицы объема). Диэлектрическая проницаемость воздуха при нормальных условиях равна $\varepsilon = 1,00058$. Оцените средний размер молекул воздуха. 8. Точечный заряд $q$ находится на расстоянии $h$ от бесконечной плоской границы с бесконечным диэлектриком с проницаемостью $\varepsilon$. Найдите – распределение поверхностной плотности поляризационных зарядов на платине; – силу взаимодействия заряда и пластины. 9. Шар радиуса $r$, изготовленный из диэлектрика с проницаемостью $\varepsilon$, помещен в однородное электрическое поле напряженности $\vec{E}$. Найдите: – распределение поверхностной плотности зарядов на шарике; – индуцированный дипольный момент шарика. 10. Небольшой шарик радиуса $r$, изготовленный из диэлектрика с проницаемостью $\varepsilon$, находится на большом расстоянии $l$ ($l >> r$) от точечного заряда $q$. Найдите силу, действующую на шарик со стороны заряда. Решение Смотреть решение задачи Задача 12. Почти бесконечная цепочка. Цепочка резисторов состоит из $N$ одинаковых звеньев и подключена с одной стороны к источнику постоянного напряжения $U_0$, а с другой к источнику постоянного напряжения $U_1$. Для построения требуемых графиков используйте следующие значения параметров $R_2 = 20R_1, U_0 = 2U_1$. 1. Найдите значения напряжений на всех резисторах $R_2$. Постройте схематический график зависимости напряжения от номера резистора. 2. Найдите значения напряжений на резисторах $R_2$, если источник $U_1$ отключить. Постройте схематический график зависимости напряжения от номера резистора. 3. Найдите значения напряжений на резисторах $R_2$, если источник $U_1$ заменить на резистор сопротивлением $r$. 4. Найдите значения напряжений на всех резисторах $R_2$ при $N \to \infty$. 5. Найдите сопротивление цепи, состоящей из $N$ звеньев. Рассмотрите случай $N \to \infty$. 6. Допустимая погрешность расчета сопротивления цепи, состоящей из $N$ звеньев равна $\varepsilon$ ($\varepsilon << l$). При каком числе звеньев цепочку можно считать бесконечной? Получите результат в общем виде, а затем проведите численный расчет для а) $R_2 = 20R_1$; б) $R_2 = 2R_1$ при предельной погрешности $\varepsilon = 1$ %. 7. Данная задача является прекрасной моделью для описания кабеля с небольшой утечкой. При этом сопротивления $R_1$ описывают собственное сопротивление кабеля, а $R_2$ — сопротивление окружающей среды, по которой возможна некоторая утечка электрического тока. Очень длинный медный провод диаметром $a = 1$ мм, покрытый слоем лака толщиной $h = 20$ мкм, находится в хорошо проводящей среде. Потенциал одного конца провода поддерживают равным $\varphi_0 = 100$ В. Найдите зависимость силы тока в проводе от расстояния до источника $x$. Чему равна сила тока, потребляемая от источника? На каком расстоянии сила тока уменьшится в два раза? Удельное электрическое сопротивление меди принять равным $\rho_1 = 2 \cdot 10^{-8}$ Ом $\cdot$ м, удельное электрическое сопротивление покрывающего лака $\rho_2 = 2 \cdot 10^{8}$ Ом $\cdot$ м. Решение Смотреть решение задачи Задача 13. «Как гроб Магомета» Вертикальная катушка содержит $N$ витков, высота катушки $H$, ее радиус $a$. На оси катушки находится тонкий деревянный стержень толщиной $b$, $b << a$, по которому может скользить без трения проводящее кольцо, радиус которого чуть превышает радиус стержня. Электрическое сопротивление кольца $R$, индуктивность $L$, масса $m$. Если по катушке протекает переменный электрический ток круговой частоты $\omega$ с амплитудным значением силы тока $I_0$, то кольцо приподнимается над катушкой. В пунктах (1) - (4) считать, что по катушке протекает постоянный электрический ток силой $I$. 1. Найдите величину индукции магнитного поля, создаваемого одним витком катушки, на оси витка в зависимости от расстояния до центра витка. 2. Найдите зависимость индукции магнитного поля B на оси катушки от расстояния до нее $h$. При вычислениях воспользуйтесь формулой $\int \frac{dx}{(a^2 + x^2)^{3/2}} = \frac{x}{a^2\sqrt{a^2 + x^2}}$. 3. Считая, что $h << a << H$, представьте полученное выражение для индукции поля в приближенном виде $B = B_0(1 + \beta \cdot h)$. Найдите значения постоянных $B_0$ и $\beta$. В дальнейших пунктах используйте это приближенное выражение. 4. Найдите горизонтальную составляющую индукции магнитного поля на малом расстоянии $b$ от оси катушки на высоте $h$. Далее будем считать, что по катушке протекает переменный электрический ток круговой частоты $\omega$ с амплитудным значением силы тока $I_0$. 5. Пусть кольцо находится на высоте $h$. Найдите значение силы тока в кольце и сдвиг фаз между током в кольце и током в катушке. 6. Найдите среднюю силу, действующую на кольцо, со стороны магнитного поля. 7. Считая высоту подъема кольца малой по сравнению с высотой катушки, покажите, что зависимость высоты подъема кольца от силы тока в катушке имеет вид $h = A - \frac{B}{I_0^2}$. Запишите выражения для параметров $A$, $B$. Решение Смотреть решение задачи Задача 14. «Перемычка на рельсах» 1. На двух проводящих горизонтальных параллельных рельсах, находящихся на расстоянии $l$ друг от друга, перпендикулярно рельсам расположена проводящая перемычка массы $m$, которая может скользить по рельсам без трения. Вся система помещена в однородное вертикальное магнитное поле индукции $B$. Рельсы соединили с помощью резистора сопротивлением $R$, а к перемычке приложили постоянную горизонтально направленную силу $F$. Пренебрегая сопротивлением перемычки и рельсов и индуктивностью контура, найдите скорость установившегося движения перемычки. 2. В системе, описанной в п. 1, резистор заменили на конденсатор емкости $C$. Как будет двигаться перемычка в этом случае? 3. Замените в рассматриваемой системе конденсатор на катушку индуктивностью $L$ и определите характер движения перемычки в этом случае. 4. В установке, описанной в п. 1, перемычка покоится на некотором расстоянии $x_0$ от резистора. Внешняя сила не действует, первоначально магнитного поля нет, а затем достаточно быстро включают вертикальное однородное магнитное поле индукции $B$. Как изменится расстояние между перемычкой и резистором по прошествии большого промежутка времени. Решение Смотреть решение задачи Задача 15. «Фокусировка». В различных приборах для фокусировки заряженных частиц используется магнитное поле. В данной задаче изучаются условия фокусировки частиц. 1. Частица массы m влетает в магнитное поле индукции $B$ со скоростью v, направленной под углом $\gamma$ к вектору индукции поля. Покажите, что траектория частицы является цилиндрической спиралью, определите ее радиус $R$ и шаг $h$. 2. Пучок частиц массы $m$ вылетает из узкой щели, расположенной в плоскости $XY$. Скорости всех частиц равны v и направлены в пределах плоского малого угла $2\alpha_0$, биссектриса которого перпендикулярна плоскости $XY$. Над плоскостью создано однородное магнитное поле индукции $B$, направленное параллельно пластине. Считая, что вектора скоростей всех частиц направлены перпендикулярно вектору индукции поля, покажите, что частицы будут фокусироваться на пластине. Определите положение и ширину полосы, в пределах которой частицы будут попадать на пластину. 3. Определите форму и размеры области попадания частиц на пластину в условиях, описанных в п. 2, если вектора скоростей частиц направлены внутри конуса с углом полураствора $\alpha_0$. 4. Пучок частиц массы $m$, влетает из одной точки в однородное магнитное поле индукции $B$, направленное вдоль оси $Z$. Скорости частиц равны $v$, а вектора скоростей частиц направлены внутри конуса с углом полураствора $\alpha_0$, ось которого совпадает с направлением вектора индукции поля. Найдите ширину пучка как функцию координаты $z$. Считая угол $\alpha_0$ малым, найдите на каком расстоянии от источника частицы сфокусируются. Оцените ширину пучка в области фокуса. Решение Смотреть решение задачи Tags: Олимпиадаподготовка к олимпиаде