Подготовка к олимпиаде. Длинные задачи [6 - 10]

          

ДЛИННЫЕ ЗАДАЧИ [6 - 10]

Задача 6. Упругая цепочка. Бесконечная цепочка состоит из одинаковых шариков (масса каждого $m$), соединенных одинаковыми легкими пружинами (жесткость каждой $\gamma$). В положении равновесия расстояния между шариками равны $l$, пружины немного растянуты так, что сила натяжения каждой равна $T_0$.

Часть 1. Продольные волны

Допустим, что каждый шарик может двигаться только в направлении вдоль цепочки.

1.1. Найдите собственную частоту колебаний одного из шариков $\omega_0$, если два соседних закреплены.

1.2. По цепочке распространяется продольная волна. Найдите сдвиг фаз между колебаниями двух соседних шариков при частоте волн $w$.

1.3. При каких частотах колебаний $\omega$ по цепочке могут распространяться бегущие волны?

1.4. Найдите скорость распространения продольной волны по цепочке. Постройте примерный график этой зависимости.

1.5. Найдите скорость распространения продольной волны при частотах $\omega << \omega_0$. Покажите, что полученное выражение можно считать аналогом формулы для скорости звука в упругой среде $c = \sqrt{\frac{E}{\rho}}$, где $E$ — модуль Юнга, $\rho$ — плотность среды.

1.6. В цепочке неподвижно закрепили неподвижно два шарика так, что между ними оказалось $n$ шариков. Определите все частоты собственных колебаний этого участка цепочки, соответствующие различным модам стоячих волн.

Часть 2. Поперечные волны

Пусть шарики способны перемещаться только в направлении перпендикулярном цепочке, причем их смещения малы ($\Delta x << l$).

2.1. Определите частоту поперечных колебаний одного шарика, если два соседних закреплены.

2.2. Найдите скорость распространения поперечной волны по цепочке.

2.3. Найдите скорость распространения поперечной волны при частотах w << w0. Покажите, что полученное выражение можно считать аналогом формулы для скорости поперечных волн в упругой среде $c = \sqrt{\frac{G}{\rho}}$, где $G$ — модуль сдвига, $\rho$ — плотность среды.

2.4. Найдите минимально возможную длину волны, которая может распространяться по цепочке.

2.5. На основании качественных рассуждений определите, как зависит скорость распространения поперечной волны от ее амплитуды, когда смещение шариков сравнимо с расстоянием между ними.

Задача 7. Прямая и адиабата. Один моль идеального одноатомного газа совершает циклический процесс, изображенный на рисунке: $1 \to 2$ прямая, $2 \to 1$ – адиабата.

1. Найдите отношение $\frac{V_1}{V_0}$.

2. Какова максимальная температура газа в цикле?

3. Постройте примерный график зависимости теплоемкости газа на участке $1 \to 2$ от его объема.

4. Постройте график зависимости количества теплоты, полученной газом при расширении на участке $1 \to 2$, от его объема.

5. Найдите КПД цикла.

Задача 8. Кристалл. Рассмотрите свойства идеального кристалла с кубической решеткой, образованного одинаковыми атомами массой $m$. Потенциальная энергия взаимодействия двух атомов в кристалле зависит от расстояния между их центрами $r$ по закону

$U(r) = \frac{a}{r^{12}} - \frac{b}{r^6}$,

где $a, b$ – некоторые положительные константы. Сила взаимодействия двух атомов связана с потенциальной энергией соотношением $F = -U^/_r$, где $U^/_r$ – производная энергии по $r$. При расчете всех характеристик можно учитывать взаимодействие атома только с его ближайшими соседями.

Выразите через параметры $a, b, m$ следующие характеристики кристалла:

1) Плотность $\rho$.

2) Удельную теплоту сублимации (перехода из кристаллического в газообразное состояние) $\lambda$.

3) Модуль Юнга кристалла $E$.

4) Максимальное относительное удлинение кристалла до его разрушения $\varepsilon_{пр}$.

5) Предел прочности на разрыв (максимальное механическое напряжение, который может выдержать кристалл без разрушения) – $\sigma_{пр}$.

6) Линейный коэффициент термического расширения кристалла $\alpha$.

Рекомендуем использовать приближенную формулу, справедливую при малых величинах $x$:

$(1 + x)^{\alpha} \approx 1 + \alpha x + \frac{\alpha (\alpha - 1)}{2} \cdot x^2$,

в которой вы можете использовать столько членов, сколько требуется в конкретной ситуации.

Задача 9. Фазовые переходы. На рисунке изображены две изотермы вещества, совершающего фазовый переход газ-жидкость, соответствующие двум очень близким температурам $T$ и $T + \Delta T$. Рассмотрите цикл Карно между горизонтальными участками изотерм.

1. Покажите, что уравнение (которое называется уравнением Клапейрона-Клаузиуса), связывающее изменение давления насыщенных паров $\Delta P$ изменением температуры $\Delta T$ имеет вид

$\frac{P}{\Delta T} = \frac{q}{T(V_1 – V_2)}$;

где обозначено: $\lambda$ – удельная теплота перехода, $V_1$ и $V_2$ – удельные объемы газовой и жидкой фаз, соответственно.

2. Считая изменения $\Delta P$ и $\Delta T$бесконечно малыми, полагая $q$ независящим от температуры, $V_2 << V_1$, считая пар идеальным газом, найдите зависимость давления насыщенных паров воды от температуры.

3. Представьте полученную зависимость в таких координатах, чтобы она была линейной. В таблице задана зависимость давления $p$ насыщенных паров воды от температуры $t$. Используя все приведенные данные, найдите удельную теплоту парообразования воды.

4. Воспользуйтесь полученным в пункте $1$ уравнением для описания фазового перехода жидкость - твердое тело. Найдите на сколько надо изменить давление, чтобы температура замерзания льда изменилась на один градус. Удельная теплота плавления льда равна 332 $\frac{кДж}{кг}$.

Задача 10. Барометрическая формула и прыгающий шарик. При постоянной температуре $T$ зависимость давления газа $p$ от высоты $h$, определяется барометрической формулой

$p = p_0 \cdot e^{-\frac{\mu gh}{RT}}$,

где $\mu$ – молярная масса газа, $g$ – ускорение свободного падения, $R$ – газовая постоянная. Молярную массу воздуха принять равной $\mu = 0,029$ $\frac{кг}{моль}$.

1. Оцените высоту, на которой давление воздуха уменьшается на $1$ %, если температура воздуха постоянна и равна $t = 0^0 C$.

2. В очень высоком вертикальном цилиндрическом закрытом сверху сосуде с площадью основания $S$ находится воздух, масса которого равна $m$. Найдите зависимость давления газа на дно сосуда от высоты сосуда и от температуры газа.

Рассмотрите два предельных случая а) $\mu gh >> RT$; б) $\mu gh << RT$. Дайте физическое объяснение полученным результатам.

Постройте семейства графиков зависимостей давления газа на дно сосуда от температуры (для нескольких значений высоты сосуда $h$) и от высоты сосуда (при различных значениях температуры $T$).

В качестве наглядной модели газа часто рассматривают множество маленьких жестких шариков, хаотически движущихся в некотором сосуде. В дальнейшем рассмотрим поведение упругого шарика движущегося вертикально в закрытом сосуде, находящемся в поле тяжести Земли. Столкновения шарика с дном и верхней крышкой сосуда будем считать абсолютно упругими. Будем изучать среднюю силу давления шарика на дно сосуда, причем будем полагать, что усреднение проводится по промежутку времени, значительно превышающему время между двумя последовательными ударами шарика.

3. Найдите зависимость силы давления шарика на дно сосуда от его высоты $h$ и его скорости $v_0$ у дна сосуда.

Рассмотрите предельные случаи а) $mgh > \frac{mv_0^2}{2}$; б) $mgh < \frac{mv_0^2}{2}$. Постройте семейства зависимостей силы давления от высоты сосуда (при постоянной $v_0$) и от квадрата скорости $v_0^2$ (при постоянной высоте сосуда $h$).

4. Рассмотрите «адиабатный» процесс уменьшения высоты сосуда с прыгающим шариком. Пусть крышка сосуда медленно опускается, найдите зависимость силы давления шарика на дно от высоты сосуда. Определите «показатель» адиабаты для этой системы. Дайте объяснение полученному результату.