Подготовка к олимпиаде. Длинные задачи [1 - 5]

          

ДЛИННЫЕ ЗАДАЧИ [1 - 5]

Задача 1. Черепахи. Когда одна черепаха догоняет другую, она движется так, что вектор ее скорости все время направлен на преследуемую черепаху. Во всех пунктах данной задачи размерами черепах можно пренебречь.

1. Черепаха $A$ движется с постоянной скоростью $v$ вдоль прямой составляющей угол $\alpha$ с осью $X$. Черепаха $B$, находящаяся в начале координат, решила догнать черепаху $А$, когда она пересекала ось $Y$ на расстоянии $l$, и начала двигаться с постоянной по модулю скоростью $u$ ($u > v$). Через какое время она догонит черепаху $A$?

2. Пусть скорость черепахи B $u = v$. Найдите расстояние между черепахами по прошествии достаточно большого промежутка времени.

3. $n$ черепах находятся в вершинах правильного $n$-угольника со стороной $l$ и начинаются двигаться с постоянными по модулю скоростями $u$, так что вектор скорости первой все время направлен на вторую, второй на третью, ... $n$-ой на первую. Через какое время черепахи встретятся?

Рассмотрите отдельно случаи $n$ = 2, $n$ = 4 и дайте им простое объяснение. Как зависит время движения черепах до встречи от числа черепах при n $\to$ $\infty$?

Задача 2. Блоки. Через два блока, подвешенных на одной высоте, переброшена длинная нерастяжимая нить, к концам которой прикреплены два одинаковых груза. К середине нити прикрепляют еще один такой же груз (рис.) и отпускаю его без начальной скорости. Расстояние между осями блоков равно l. Тернием и сопротивлением воздуха можно пренебречь.

1. Определите максимальное смещение центрального груза в процессе движения.

2. В каком положении грузы могут находиться в состоянии равновесия?

3. Чему равны скорость и ускорение центрального груза, когда он проходит положение равновесия?

4. Грузы находятся в положении равновесия. Затем центральный груз смещают вниз на малое расстояние от этого положения. Определите период малых колебаний системы.

Воспользуйтесь приближенной формулой справедливой при малых значениях x и любых показателях степени $\alpha$

$(1 + x)^{\alpha} \approx 1 + \alpha x + \frac{\alpha(\alpha - 1)}{2}x^2$

Задача 3. Клюшка и шайба. На гладком горизонтальном льду лежит однородный стержень длины $l$ и массы $M$. На стержень налетает со скоростью $\vec{v_0}$, направленной перпендикулярно стержню, небольшая шайба массы $m$. Точка удара находится на расстоянии x от центра стержня. Удар абсолютно упругий.

1. Найдите: скорость шайбы u1, скорость центра стержня $u$, угловую скорость вращения стержня $\omega$ после первого удара. Ответы выразите через параметры $\mu = \frac{M}{m}$ и $\xi = \frac{x}{l}$.

2. При каком соотношении между параметрами $\mu$ и $\xi$ шайба столкнется со стержнем только один раз? Изобразите схематически эту область параметров на диаграмме $(\mu, \xi)$.

3. При каком соотношении между параметрами $\mu$ и $\xi$ после второго удара шайба будет двигаться с прежней скоростью $\vec{v_0}$?

4. Пусть $\xi$ = 0,333, $\mu$ = 0,330. На какой угол изменится направление вектора скорости шайбы после всех ее столкновений со стержнем?

Задача 4. Внутри конуса. Исследуется движение без трения небольшой шайбы (которую можно считать материальной точкой) по внутренней поверхности конуса, ось которого $Z$ вертикальна, а тангенс угла полураствора $\alpha$ равен $k$.

1. Какова должна быть скорость шайбы $v_0$, чтобы она могла двигаться по поверхности конуса в горизонтальной плоскости на высоте $z_0$ от вершины конуса?

2. Шайбе, находящейся на высоте $z_0$ от вершины конуса, сообщили скорость $v$ в горизонтальном направлении вдоль поверхности конуса. Найдите пределы изменения координаты $z$ шайбы в процессе ее движения.

3. Шайба движется в горизонтальной плоскости на высоте $z_0$ от вершины конуса. Затем в результате толчка ее скорость увеличивается на небольшую величину $v$ (направление вектора скорости при этом не изменяется). Найдите в каких пределах будет изменяться координата $z$ шайбы в процессе движения и период ее колебаний вдоль вертикальной оси.

4. Шайба движется в горизонтальной плоскости на высоте $z_0$ от вершины конуса. Затем ей толчком сообщают небольшое приращение скорости $v$, направленное вверх вдоль образующей конуса $v << \sqrt{g \cdot z_0}$. Найдите в каких пределах будет изменяться координата $z$ шайбы в процессе движения и период ее колебаний вдоль вертикальной оси.

Рекомендуем воспользоваться приближенной формулой

$(1 + x)^{-2} \approx 1 – 2x + 3x^2$.

Задача 5. Оборотный маятник. Оборотный маятник представляет собой тонкий однородный стержень длиной $l$, по которому можно перемещать две одинаковых массивных чечевицы $A_1$ и $A_2$. Положение чечевиц определяется координатами $x_1$ и $x_2$. Маятник может колебаться в вертикальной плоскости, будучи подвешенным на упорах $S_1$ или $S_2$ (в этом случае его необходимо перевернуть). Масса стержня значительно меньше массы чечевиц. Чечевицы можно считать материальными точками. Расстояния от упоров до концов стержня одинаковы и равны $\alpha$.

1. Найдите периоды колебаний маятника в прямом (на упоре $S_1$) и обратном (на упоре $S_2$) положениях в зависимости от $x_1$ и $x_2$.

2. Постройте график зависимости периода колебаний маятника в прямом положении при $x_1 = \frac{a}{2}$ от положения второй чечевицы.

3. Найдите множество значений $x_1$, $x_2$, при которых период колебаний маятника $T_1$ в прямом положении один и тот же. Постройте эти множества точек на диаграмме ($x_1$, $x_2$) для различных значений $T_1$. Постройте аналогичные кривые для колебаний маятника в обратном положении.

4. На диаграмме ($x_1$, $x_2$) постройте множество значений ($x_1$, $x_2$), при которых периоды колебаний маятника в прямом и обратном положениях равны и постоянны. Покажите, что этот период равен периоду колебаний математического маятника с длиной равной расстоянию между упорами.