Республиканская олимпиада по физике. г. Витебск. 10 класс. 2019 г. Теоретический тур

          

Республиканская олимпиада по физике. г. Витебск. 10 класс. 2019 г.

Теоретический тур

Задание 10-1 Разминка

Задание состоит из 3 не связанных между собой задач.

Задача 1.1

Плотность вещества некоторой планеты, имеющей форму шара, зависит только от расстояния до центра планеты. При бурении глубокой скважины оказалось, что ускорение свободного падения не зависит от глубины погружения под поверхность планеты и равно $g_0$. Найдите зависимость плотности вещества планеты от расстояния до ее центра $\rho(r)$.

Задача 1.2

В результате вытягивания оловянной проволоки, радиус ее сечения стал переменным, зависящим от расстояния до ее конца $r(x)$. График этой зависимости показан на рисунке (обратите внимание: радиус в мм, расстояние до конца в см). Найдите электрическое сопротивление этой проволоки, при протекании тока вдоль ее оси. Удельное сопротивление олова $\rho = 1,2 \cdot 10^{-7} Ом \cdot м$.

Задача 1.3

Через трубку с газом протекает электрический ток. Проводимость газа полностью обусловлена облучением газа потоком ионизирующих частиц (т.е. рассматривается несамостоятельный разряд при малом напряжении) от различных радиоактивных источников. Если к трубке поднесен первый источник частиц, то удельное сопротивление газа оказывается равным $\rho_1$, если к трубке поднесен второй источник, то удельное сопротивление становится равным $\rho_2$. Чему будет равно удельное сопротивление газа, если к нему поднести оба источника? Считайте, что концентрация ионов, возникающих при ионизации, мала.

Задача 10-2 Короткий толчок

Если на тело действует некоторая сила в течение малого промежутка времени $\Delta t$, очень часто используют теорему об изменении импульса тела (которая равносильна второму закону Ньютона): изменение импульса тела равно импульсу действующей силы:

$\Delta \vec{P} = \vec{F}\Delta t$. (1)

При этом пренебрегают смещением тела за время действия силы.

Но в этом подходе скрыто противоречие: если скорость тела изменилась, то изменилась его кинетическая энергия. С другое стороны, справедлива теорема о кинетической энергии: изменение кинетической энергии тела, равно работе внешних сил:

$\Delta E_{кин} = \vec{F}\Delta \vec{r}$. (2)

Но если пренебречь смещением тела за время действия силы, то работа оказывается равной нулю (!), следовательно, энергия тела и его скорость не изменяется!

Продемонстрируйте свое понимание физики и используемых приближенных методов: покажите, что между этими теоремами никаких противоречий не возникает.

Во всех частях задачи рассматривается движение небольшой частицы (материальной точки) массы m, имеющей постоянный электрический заряд q.

Силой тяжести, силой сопротивления воздуха следует пренебрегать.

В ходе решения вам необходимо использовать единственную приближенную формулу, справедливую при малых значениях безразмерной величины $x << 1$:

$(1 + x)^{\gamma} \approx 1 + \gamma x$. (3)

Эта формула справедлива при любых значениях показателя степени $\gamma$.

Часть 1. Постоянная сила.

Частица свободна и находится в состоянии покоя. На короткий промежуток времени $\tau$ включается постоянное электростатическое поле, напряженность которого равна $E$.

1.1 Используя теорему об изменении импульса (1), найдите скорость $v_0$, которую приобретет частица за время включения электрического поля. Постройте схематический график зависимости скорости частицы от времени.

1.2 Найдите скорость частицы после выключения поля $v_0$, используя теорему о кинетической энергии (2). Постройте схематический график зависимости скорости частицы от ее координаты.

1.3 Совпадают ли значения скорости $v_0$, полученные в пп. 1.1 – 1.2?

Часть 2. Сила упругости.

Частицу прикрепили с помощью легкой непроводящей пружины жесткостью $k$ с неподвижной стенкой. Частица находится в состоянии покоя, затем на короткий промежуток времени $\tau$ включается постоянное электростатическое поле, напряженность которого постоянна (в течение указанного промежутка) равна $\vec{E}$ и направлена вдоль пружины.

При решении этой задачи вам следует использовать два приближения (и сравнить их между собой).

Первое приближение: пренебрегаем смещением частицы за время действия поля $\tau$.

Второе приближение: учитываем смещение частицы, но пренебрегаем изменением ее ускорения, т.е. считаем, что она движется с постоянным ускорением, равным ускорению в начальный момент времени

2.1 Используя первое приближение, найдите приближенное значение скорости частицы сразу после выключения поля $\widetilde{v_0}$.

2.2 Используя теорему об изменении импульса (1), найдите значение скорости частицы сразу после выключения поля $v_0$ во втором приближении.

2.3 Разность между найденными значениями служит оценкой погрешности первого приближения. Найдите (в виде формулы) относительную погрешность значения скорости $\widetilde{v_0}$:

$\varepsilon_{v} = \frac{v_0 - \widetilde{v_0}}{\widetilde{v_0}}$. (4)

2.4 Получите формулу для значения скорости $v_0$ с помощью теоремы о кинетической энергии (2) во втором приближении.

2.5 Упростите формулу, полученную в п. 2.4, используя приближенную формулу (3). Сравните ее с формулой, полученной на основе теоремы об изменении импульса (п. 2.2). Совпадают ли они?

2.6 Какая из формул (п. 2.2 или п. 2.4) является правильной?

2.7 Найдите максимальное смещение частицы $\widetilde{X}$ в процессе движения в первом приближении.

2.8 Найдите относительную погрешность найденного смещения, используя второе приближение.

Еще одна математическая подсказка:

Если ускорение тела изменяется от времени по закону $a = bt^2$, то зависимость скорости от времени имеет вид $v = \frac{bt^3}{3}$, при этом зависимость координаты от времени $x = \frac{bt^4}{12}$. Предполагается, что начальная скорость и начальная координаты равны нулю.

Часть 3. Кулоновская сила.

Частицу поместили между обкладками сферического конденсатора. Конденсатор образован двумя концентрическими проводящими сферами, радиусы которых равны $r_1$, $r_2$. Сначала частица касается внутренней сферы и находится в покое, затем на короткий промежуток времени $\tau$ обкладки подключают к источнику постоянного напряжения $U_0$. При этом тело приходит в движение.

3.1 Чему равна напряженность поля у поверхности внутренней сферы $E_0$?

3.2 Выразите напряженность поля в точке $E(r)$, находящейся между сферами на расстоянии $r$ от их центра, через величину $E_0$ и геометрические размеры конденсатора. В дальнейших пунктах ответы выражайте через значение $E_0$.

3.3 Найдите скорость частицы после выключения поля во втором приближении $v_0$

3.4 Используя первое приближение, найдите время пролета частицы между обкладками конденсатора $\widetilde{T}$. Во втором приближении время движения может быть представлено в виде

$T = \widetilde{T} + \beta \tau^n$, где $\beta$ - некоторая константа. Чему равен порядок степени поправки $n$? Доказывать приведенную формулу и определять коэффициент $\beta$ не требуется.

Задача 10-3 Насос

Поршневой насос состоит из цилиндрического сосуда с подвижным поршнем, соединенным с электромотором (на рисунке не показан). К цилиндру подключены два клапана 1 и 2. Каждый клапан можно считать идеальным: он пропускает газ (без сопротивления) в одну сторону и полностью перекрывает поток при изменении его направления. Насос подключают к сосуду, объем которого равен $V$. Электродвигатель заставляет поршень периодически перемещаться от начального положения (когда объем камеры равен $v_0$), до конечного положения (в котором объем камеры равен $v_1$) и обратно.

Численные значения параметров установки следующие:

- объем сосуда $V = 20,00 л$;

- полный объем камеры насоса $v_0 = 1,00 л$;

- объем камеры при вдвинутом поршне («мертвое» пространство) $v_1 = 0,20 л$;

- атмосферное давление $p_0 = 1,0 атм = 1,0 \cdot 10^5 Па$;

Насос работает медленно, поэтому все процессы следует считать изотермическими.

Трением и вязкостью воздуха можно пренебречь.

Часть 1. Накачка.

Для накачивания воздуха в сосуд клапаны устанавливают так, чтобы клапан 1 открывается, когда газ входит в сосуд (естественно, когда давление в камере насоса незначительно превышает давление в сосуде) и закрывается, не давая газу выходить из сосуда. Клапан два соединяет камеру насоса с атмосферой, он не дает выходить воздуху из камеры насоса и открывается, когда давление в камере насоса становиться чуть ниже атмосферного давления.

Обозначим $P_k$ - давление в сосуде после $k$ циклов работы насоса.

1.1 После совершения $k$ циклов работы насоса давление в сосуде поднялось до значения $P_k$. Постройте схематический график процессов в камере насоса на диаграмме $(P, v)$, где $P, v$ - давление и объем газа в камере. Началом цикла считайте положение полностью выдвинутого поршня ($v_0$) и давления в камере $P_0$

Запишите уравнения всех процессов $p(V)$, укажите начальные и конечные значения параметров газа на каждом участке цикла.

Все результаты (в виде формул) занесите в таблицу 1.

1.2 Перед началом работы насоса давление в сосуде равно атмосферному давлению $P_0$. На бланке 1 постройте графики двух первых циклов. Оцифровку оси давления проведите самостоятельно. В таблице укажите численные значения параметров в вершинах цикла.

1.3 Пусть давление в сосуде после $k$ циклов равно $P_k = 2,0 атм$. На бланке 2 постройте график одного следующего цикла. Оцифровку оси давления проведите самостоятельно, она может отличаться от оцифровки предыдущего графика. В таблице укажите численные значения параметров в вершинах цикла.

1.4 Покажите, что давление в сосуде после $k$ циклов $P_k$, может быть выражено через давление после $(k - 1)$ цикла $P_{k-1}$ с помощью рекуррентной формулы

$P_k = \gamma P_{k-1} + a$, (1)

где $\gamma, a$ - постоянные величины. Выразите значения параметров $\gamma, a$ через характеристики установки $v_0, v_1, V$ и атмосферное давление $P_0$.

1.5 Найдите, до какого максимального давления $\overline{P}$ можно поднять давление в сосуде.

1.6 Обозначим $\delta_k = \overline{P} – P_k$ - отклонение давления в сосуде после $k$ циклов от максимально возможного. Выразите величину $\delta_k$ через $\delta_{k-1}$ и параметры $\gamma, a$ из формулы (1).

1.7 Получите формулу, описывающую в явном виде давление в сосуде $P_k$ в зависимости от числа совершенных циклов $k$. Постройте схематический график этой зависимости.

1.8 Рассчитайте, сколько циклов должен совершить насос, чтобы давление в сосуде достигло значения $0,95\overline{P}$.

Часть 2. Откачка.

Насос может, как накачивать воздух в сосуд, так и откачивать его из сосуда. Для этого только необходимо изменить направление пропускания клапанов (см. рис).

2.1 Пусть после $k$ циклов давление в сосуде опустилось до значения $P_k$. Постройте схематический график цикла откачки воздуха из сосуда $(P, v)$, где $P, v$ - давление и объем газа в камере. Началом цикла считайте положение полностью задвинутого поршня ($v_1$) и давление в камере насоса $P_0$.

Запишите уравнения всех процессов $P(V)$, укажите начальные и конечные значения параметров газа на каждом участке цикла. Все результаты (в виде формул) занесите в Таблицу 2, аналогичную Таблице 1.

2.2 Получите формулу, описывающую давление в сосуде $P_k$ в зависимости от числа совершенных циклов $k$.

2.3 Рассчитайте, до какого значения понизится давление в сосуде после $50$ циклов работы насоса.

2.4 До какого минимального значения можно понизить давление в сосуде?