Партнеры
Вход в систему
Яндекс.Метрика
on-line
Сейчас на сайте 0 пользователей и 34 гостя.

Момент инерции

 Для вычисления момента инерции мы должны мысленно расчленить тело на достаточно малые элементы, точки которых можно считать лежащими на одинаковом расстоянии от оси вращения, затем найти произведение массы каждого элемента на квадрат его расстояния от оси и, наконец, просуммировать все полученные произведения. Очевидно, это весьма трудоемкая задача. Для подсчета
моментов инерции тел правильной геометрической формы можно воспользоваться в ряде случаев приемами интегрального исчисления.
 Нахождение конечной суммы моментов инерции элементов тела заменим суммированием бесконечно большого числа моментов инерции, вычисленных для бесконечно малых элементов:
limi = 1ΣΔmiri2 = ∫r2dm. (при Δm → 0).

 Вычислим момент инерции однородного диска или сплошного цилиндра высотой h относительно его оси симметрии

 Расчленим диск на элементы в виде тонких концентрических колец с центрами на оси его симметрии. Полученные кольца имеют внутренний диаметр r и внешний r + dr, а высоту h. Так как dr << r, то можем считать, что расстояние всех точек кольца от оси равно r.
 Для каждого отдельно взятого кольца момент инерции
i = ΣΔmr2 = r2ΣΔm,

где ΣΔm − масса всего кольца.
Объем кольца 2πrhdr. Если плотность материала диска ρ, то масса кольца
ρ2πrhdr.

Момент инерции кольца
i = 2πρhr3dr.

 Чтобы подсчитать момент инерции всего диска, надо просуммировать моменты инерции колец от центра диска (r = 0) до края его (r = R), т. е. вычислить интеграл:
I = 2πρh 0R∫r3dr,

или
I = (1/2)πρhR4.

Но масса диска m = ρπhR2, следовательно,
I = (1/2)mR2.

 Приведем (без вычисления) моменты инерции для некоторых тел правильной геометрической формы, выполненных из однородных материалов

1. Момент инерции тонкого кольца относительно оси, проходящей через его центр перпендикулярно его плоскости (или тонкостенного полого цилиндра относительно его оси симметрии):
I = mR2.

2. Момент инерции толстостенного цилиндра относительно оси симметрии:
I = (1/2)m(R12 − R22)

где R1 − внутренний и R2 − внешний радиусы.
3. Момент инерции диска относительно оси, совпадающей с одним из его диаметров:
I = (1/4)mR2.

4. Момент инерции сплошного цилиндра относительно оси, перпендикулярной к образующей и проходящей через ее середину:
I = m(R2/4 + h2/12)

где R − радиус основания цилиндра, h − высота цилиндра.
5. Момент инерции тонкого стержня относительно оси, проходящей через его середину:
I = (1/12)ml2,

где l − длина стержня.
рисунок6. Момент инерции тонкого стержня относительно оси, проходящей через один из его концов:
I = (1/3)ml2

 7. Момент инерции шара относительно оси, совпадающей с одним из его диаметров:
I = (2/5)mR2.

 Если известен момент инерции какого-либо тела относительно оси, проходящей через его центр масс, то момент инерции относительно любой другой оси, параллельной первой, может быть найден на основании так называемой теоремы Гюйгенса-Штейнера.
 Момент инерции тела I относительно любой оси равен моменту инерции тела Iс относительно оси, параллельной данной и проходящей через центр масс тела, плюс масса тела m, умноженная на квадрат расстояния l между осями:

I = Ic + ml2.

 В качестве примера подсчитаем момент инерции шара радиуса R и массой m, подвешенного на нити длиной l, относительно оси, проходящей через точку подвеса О. Масса нити мала по сравнению с массой шара. Так как момент инерции шара относительно оси, проходящей через центр масс Ic = (2/5)mR2, а расстояние
между осями (l + R), то момент инерции относительно оси, проходящей через точку подвеса:
I = (2/5)mR2 + m(l + R)2.

Размерность момента инерции:
[I] = [m] × [r2] = ML2.