• Предыдущая задача

   25(МГУ 2005). В высокий цилиндрический сосуд с внутренним диаметром D = 7 см налито m = 50 г воды. В сосуд медленно опускают подвешенный на нити стержень массой M = 5 кг, имеющий форму прямого кругового цилиндра длиной L = 218,3 см. Плотность материала стержня ρ = 600 кг/м³. Оси сосуда и стержня вертикальны и совпадают. Найдите изменение силы натяжения подвеса, когда расстояние между нижним основанием стержня и дном сосуда станет равным h = 3 мм, по сравнению со случаем, когда стержень еще не касался воды.

   Решение:
   Изменение силы натяжения подвеса, после того как стержень коснется поверхности воды, обусловлено действием сил со стороны воды на стержень. Поскольку диаметр стержня равен d = 2√{M/(πρL)}, толщина зазора между стенками цилиндра и стержнем составляет

δ = 0,5(D − d) ≈ 0,1416 мм
(оси стержня и цилиндра совпадают) и высота столба воды, отсчитываемая от нижнего основания стержня, при заданной толщине слоя воды между нижним основанием стержня и дном цилиндра (без учета капиллярных явлении) равна
H = [m/ρ_в − 0,25πD₂h]/[0,25π(D₂ − d₂)] ≈ 1,238 м,
где ρ_в = 1 г/см³ − плотность воды. Так как в условии задачи не оговорено иное, будем считать, что цилиндр покоится относительно лабораторной системы отсчета и эту систему можно считать инерциальной. Тогда сила натяжения подвеса (считая величину ускорения свободного падения равной g = 9,81 м/с²) уменьшится, без учета сил поверхностного натяжения, на величину
ΔF = 0,25πd²ρ_вgH = Mg(4m − πD²hρ_в)/(πD²Lρ − 4M).
После вычислений ΔF ≈ 0,9448Mg ≈ 46,34 H.
   Как известно, давление под искривленной поверхностью жидкости за счет действия сил поверхностного натяжения при условии смачивания стенок меньше (а несмачивания – больше) давления над плоской поверхностью при тех же внешних условиях на величину, определяемую формулой Лапласа:
Δp = (1/R₁ + 1/R₂)σ,
где R₁ и R₂ − так называемые главные радиусы кривизны поверхности, а σ − коэффициент поверхностного натяжения. В рассматриваемом случае при полном смачивании или несмачивании цилиндра и стержня R₁ = δ/2, а R₂ ≈ D/2. Поскольку D ≥ δ, максимальная поправка на изменение силы натяжения подвеса, обусловленная действием сил поверхностного натяжения, при заданном погружении цилиндра должна быть равна
F_n = (2σ/δ)(πd²/4) = [4σ/(D√{M/(πρL)}] × [M/(ρL)] ≈ 3,92 H.
(коэффициент поверхностного натяжения воды при температуре t = 20 °C и давлении p = 760 мм рт. ст. равен σ ≈ 0,0728 Н/м). В этом расчете мы не учитывали силу, с которой на цилиндр действует верхняя кромка жидкости: при смачивании – вниз, а при несмачивании – вверх. Читатель может убедиться самостоятельно, что величина этой силы составляет долю 2δ/d от величины F_n, т.е. приблизительно 0,4 %.
   Итак, в зависимости от степени смачивания цилиндра и стержня водой сила натяжения подвеса может уменьшиться на любую величину от
ΔF − F_n ≈ 42,4 H до Mg ≈ 49,05 H
(нить не может давить на стержень). В последнем случае необходимо считать, что R₁ > δ/2, т.е. модуль косинуса краевого угла отличен от единицы.
   Следует отметить, что при решении данной задачи было необходимо правильно выбрать точность числовых расчетов.

• Следующая задача