on-line
Сейчас на сайте 1 пользователь и 32 гостя.

Пользователи на сайте

  • fizportal.ru
Вход в систему
Яндекс.Метрика

Система физических единиц. Метод анализа размерности.

1. Система единиц.
 Входящие в уравнения физических законов значения физических величин всегда следует рассматривать как произведение числового значения и единицы измерения. Таким образом, единица измерения некоторой физической величины − это такое её значение, которое принято за 1.
 Совокупность единиц, относящихся к некоторой системе величин и построенная в соответствии с принятыми принципами, образует систему единиц.
 Единицы физических величин могут быть основными и производными. Основные единицы задаются эталонами (естественными или искусственными), а производные определяются через них.
 В международной системе единиц, которой в 1958 году был присвоен символ «СИ» (SI − System International или The International System of Units) за основные были приняты следующие единицы:


 Для образования кратных и дольных единиц используются следующие приставки:

 Физические величины, числовое значение которых не зависит от выбранного масштаба (размера) единиц, называются безразмерными. Пример − угол (отношение длины дуги к радиусу). Физические величины, числовое значение которых меняется при изменении масштаба единиц, называются размерными. Примеры − длина, сила, энергия.
 Выражение производной единицы физической величины через основные называется её размерностью (формулой размерности). Её можно получить из соотношения, которым эта величина определяется, например:

2. Метод анализа размерности.
 Метод анализа размерности применяется для:

  • Проверки правильности ответа
  • Решения задач методом анализа размерности (нахождение формул по размерности)

2.1. Проверка правильности ответа задачи.
 Проверка основывается на следующих правилах:

  • Размерности левой и правой частей любого уравнения должны совпадать;
  • Аргументы трансцендентных функций и показатели степени должны быть безразмерными;
  • Складывать и вычитать можно только величины одинаковой размерности.

Пример: В результате решения задач были найдены ответы, необходимо проверить их по размерности.


− следовательно, правая часть должна быть такой же:

− размерность не совпадает.

 В знаменателе складываются величины равных размерностей. Проверим размерность дроби:

− дробь безразмерная.


 Здесь ошибка: в знаменателе размерная величина m складывается с безразмерной 1.
2.2. Алгоритм использования метода анализа размерности:
1. Выявить все физические величины, от которых может зависеть искомая величина;
2. Записать предполагаемую зависимость с неизвестными показателями степени:

3. Приравнять размерности левой и правой частей;
4. Записать систему уравнений для показателей степеней и решить её;
5. Подставить полученные показатели в уравнение предполагаемой зависимости.
 Ограничения метода:
1. Нет никаких оснований, кроме соображений простоты, для предположения, что искомая зависимость, действительно, одночлен. Далеко не всегда, также, коэффициент при одночлене является безразмерным.
2. Для выявления всех входящих в формулу величин без глубокого анализа можно пользоваться лишь интуитивными предположениями.
3. Уравнений может оказаться меньше неизвестных, тогда либо решение остается незаконченным, либо требуются дополнительные предположения − опять без четкого обоснования.
4. Метод не позволяет определить коэффициент С.
Стандартная задача:
 Определить скорость v, с которой упадет на землю свободно падающее с высоты h тело массы m.
 Сделаем следующие предположения:
1. Кроме заданных h и m скорость тела зависит также от ускорения свободного падения g.
2. Искомая зависимость имеет вид:

где С − неизвестный коэффициент, а α, β и γ − показатели степени, подлежащие определению. Приравняем размерности (или единицы измерения) правой и левой частей:

или

 Показатели степеней у L, M и T должны быть одинаковы в правой и левой частях, поэтому:

 Решение с помощью закона сохранения энергии дает

то есть метод размерности позволил получить правильную формулу с точностью до коэффициента.
Задачи:

1. Определить период колебания груза, подвешенного на пружине.
Предположение: период зависит от ускорения свободного падения g, массы m и жесткости k.

2. Определить циклическую частоту колебания груза, подвешенного на нити.
Предположение: циклическая частота зависит от g, длины нити l и массы m.

3. Используя метод размерности определить силу, действующую на тело, равномерно вращающееся по окружности.

4. Используя метод размерности, определить какие капли дождя падают быстрее большие или маленькие.

5. Используя метод размерности, определить высоту подъема тела, брошенного вертикально вверх.

6. Используя метод размерности, определить мощность двигателей подводной лодки, плывущей горизонтально с постоянной скоростью.

7. Используя метод размерности, определить время подъема тела, брошенного вертикально вверх.

8. Используя метод размерности, определить силу давления струи на стену.

9. Используя метод размерностей, определить работу по растяжению пружины.


 Смотрите еще: Размерности физических величин и анализ размерностей. Метод размерностей.