Партнеры
Вход в систему
Яндекс.Метрика
on-line
Сейчас на сайте 0 пользователей и 25 гостей.

Задачник КВАНТА. Заземление пластины конденсатора.

Ф71. Имеется равномерно заряженный отрезок AB. Как направлена напряженность электрического поля, создаваемого этим отрезком в точке C, по медиане треугольника ABC? по его биссектрисе? по высоте? ни по одной из этих линий?

Решение.
 Напряженность поля − вектор, а в нашей задаче имеются лишь четыре выделенных направления: по медиане, биссектрисе или высоте треугольника ABC и параллельно отрезку AB. Вектор напряженности поля должен быть направлен по одному из этих направлений. Ясно, что он не может быть параллелен отрезку AB: напряженность поля заряженного отрезка равна сумме напряженностей полей частей отрезка, а они всегда направлены к отрезку или от него (в зависимости от знака отрезка).

 Не подходит и высота треугольника ABC: например, если точка C находится в стороне от отрезка, на расстоянии, много большем длины отрезка, то ясно, что напряженность поля в точке должна быть направлена к отрезку AB, а не по перпендикуляру к нему.
 Итак, у нас остались медиана и биссектриса. Напряженность E поля отрезка равна сумме напряженностей полей его частей. Для того чтобы вектор E был направлен вдоль медианы, необходимо, чтобы отрезки равной длины Δx, находящиеся на равных расстояниях от середины отрезка, создавали одинаковое поле в точке C.
 Только в этом случае сумма векторов ΔE будет направлена вдоль медианы треугольника ABC. Однако это невозможно: отрезки равной длины имеют одинаковый заряд ΔQ = σΔx, σ − линейная плотность заряда, то есть заряд единицы длины отрезка, а расстояние до точки C различны.
 Значит вектор E направлен вдоль биссектрисы треугольника ABC. Убедимся в этом. Найдем напряженность поля отрезка Δx такого, что прямая, проведенная из него в точку C, образует угол α с высотой треугольника и Δx << r (рисунок).



 Если отрезок Δx виден из точки C под углом Δα, то

угол α мал, так что

и

Поэтому

Но rcosα = h. Поэтому

 Напряженность поля отрезка, который виден из точки C под углом Δα, не зависит от угла α. Все отрезки, которые видны из точки C под одинаковым углом, создают в ней поле одинаковой величины. Но для любого отрезка Δx, находящегося слева от биссектрисы CD треугольника ABC, можно найти отрезок справа от нее такой, что он виден из точки C под тем же углом Δα, что и отрезок Δx, и угол β, образуемый прямой, соединяющий его с точкой C, такой же, как и для отрезка Δx. Так как эти отрезки создают в точке C одинаковое поле, то вектор ΔE суммы векторов ΔE1 и ΔE2 напряженностей полей отрезков направлен по диагонали ромба, построенного на векторах ΔE1 и ΔE2, то есть вдоль биссектрисы CD. Это верно для любого угла α, то есть для любой пары отрезков. Значит, и вектор напряженности поля отрезка AB направлен вдоль биссектрисы треугольника ABC.


Задачник Кванта
Банк решенных задач абитуриента