Партнеры
Вход в систему
Яндекс.Метрика
on-line
Сейчас на сайте 0 пользователей и 7 гостей.

Задачник КВАНТА. Предельный потенциал заряженного шара.

Ф34. На рисунке изображена капельная электростатическая машина (генератор Кельвина). Из трубки в полый изолированный металлический шар радиуса R падают капли воды, заряженные до потенциала φ0. Как зависит предельный потенциал, до которого может зарядиться шар, от высоты падения капель?


Решение.
 Попадая в шар, капли отдают ему свой заряд, распределяющийся равномерно по поверхности шара. При этом возникает электрическое поле, препятствующее падению капель, так как заряды капли и шара одного знака.
Скорости капли у поверхности шара можно найти, воспользовавшись законом сохранения энергии. Энергия капли E складывается из кинетической энергии, потенциальной энергии в поле тяжести и электростатической энергии в поле шара.
 Известно, что электрическое поле равномерно заряженной сферы вне ее такое же, как у точечного заряда, равного по величине заряду сферы и расположенного в ее центре. Поэтому потенциальная энергия точечного заряда q в поле равномерно заряженной сферы с зарядом Q равна qQ/d, где d − расстояние заряда до центра сферы.
 Энергия капли вначале падения

где h − высота падения капли, отсчитываемая от поверхности стола (h > R).
 У поверхности шара энергия капли

Приравнивая эти энергии, находим

 По мере того, как заряд шара Q увеличивается, скорость капли v у его поверхности уменьшается. Очевидно, что шар перестанет заряжаться, когда эта скорость станет равной нулю. Следующие капли уже не смогут попасть в шар. Из этого условия находим предельный заряд шара:

 Воспользовавшись известными формулами электростатики Q = φR и q = φ0r, для предельного потенциала шара получаем

 При выводе этой формулы мы предполагали, что шар не переполнится жидкостью до того, как зарядится до найденного предельного потенциала. Однако, если например капли достаточно большие, то всегда может произойти обратное: шар переполнится, а капли все еще смогут попадать в него. В этом случае предельный потенциал шара тоже легко находится.
 Если радиус капли r, а радиус шара R, то шар заполнится при попадании в него N = (R/r)3 капель. При этом заряд шара будет равен Q = qN, где q = rφ0 − заряд одной капли, а предельный потенциал шара

 Очевидно, что в капельных электростатических машинах шар наполняется полностью, так как при этом получается более высокий предельный потенциал.


Задачник Кванта
Банк решенных задач абитуриента