Как из четырех спиралей составить нагреватель наибольшей мощности | FizPortal
Партнеры
Вход в систему
Яндекс.Метрика
on-line
Сейчас на сайте 0 пользователей и 5 гостей.

Задачник Кванта Ф10. Нагреватель наибольшей мощности из четырех спиралей.

Ф10. Как из четырех тонких проволочных спиралей с сопротивлениями 10 Ом, 20 Ом, 30 Ом и 40 Ом, рассчитанных на выделение мощности не более 2 Вт на каждой, составить нагреватель наибольшей возможной мощности, если имеется источник тока с ЭДС 20 B и внутренним сопротивлением 20 Ом?

Решение.
 Докажем вначале, что во внешней цепи выделяется тем большая мощность, чем ближе сопротивление нагрузки к внутреннему сопротивлению источника.

 Ток в цепи, состоящей из включенных последовательно источника с ЭДС E и внутренним сопротивлением r и нагрузки с сопротивлением R, равен


Поэтому мощность, выделяемая на нагрузке,

 Нарисуем график зависимости W от сопротивления нагрузки R. При R = 0, W = 0; при R → ∞ можно пренебречь r по сравнению с R в знаменателе дроби. Тогда

То есть при больших R(R >> r) график зависимости W от R − это гипербола, асимптотически приближающаяся к оси R. Так как функция W(R) непрерывна, равна нулю при R = 0 и убывает при R → ∞, то она должна иметь максимум. Найдем его.
Выражение

максимально, когда обратное выражение

минимально. Но

Это выражение минимально, когда минимально выражение

Так как

(соотношение между средним арифметическим и средним геометрическим двух чисел R и r2/R), то

Следовательно, минимум суммы

равен 2r и достигается при r = R.
Итак, мощность, выделяющаяся на нагрузке, максимальна при R = r. График зависимости показан на рисунке.

 Из графика видно, что тем больше, чем ближе R к r. Это означает, что из спиралей нужно составить нагреватель с сопротивлением, как можно более близким к 20 Ом. Использовать лишь спираль с сопротивлением 20 Ом нельзя, так как при этом на ней будет выделяться мощность

а каждая из спиралей рассчитана на выделение мощности не более 2 Вт.
Из всех возможных схем соединения спиралей наилучшая приведена на рисунке.

Сопротивление такого нагревателя равно 20 Ом, выделяющаяся в нагревателе мощность

 Нетрудно подсчитать, что наибольшая мощность выделяется на спирали с сопротивлением 20 Ом и равна 1,8 Вт.
 Рассмотрим вопрос, о том, как зависит КПД электроустановки от сопротивления нагрузки.
 Так как мощность, отдаваемая источником, равна

а полезная мощность, как мы получили, равна

то, обозначив отношение R/r через α, получим для КПД следующее выражение:

 КПД велик при больших сопротивлениях нагрузки, когда в цепи идет маленький ток. При α = 0, η = 0; при α → ∞, η → 1. При α = 1, когда в нагрузке выделяется максимальная мощность, η = 0,5 = 50 %. При этом, конечно, в самом источнике выделяется такая же мощность, как в нагрузке. Источник становится печкой.
 Увеличивая КПД установки, мы одновременно уменьшаем полезную мощность, выделяющуюся на нагрузке.


PDF версия задачи
Задачник Кванта
Банк решенных задач абитуриента