Партнеры
Вход в систему
Яндекс.Метрика
on-line
Сейчас на сайте 0 пользователей и 2 гостя.

Задача олимпиады. Оценить толщину стенок чугунной трубы, необходимую для того, чтобы трубу не могла разорвать замерзшая внутри вода. Плотность льда ρл = 0,9 г/см3, модуль Юнга льда Ел = 2,5•106 Н/см2, коэффициент Пуассона льда μл = 0,3. Внутренний диаметр трубы d = 2,5 см, модуль Юнга чугуна Еч = 2•107 Н/см2, предел прочности чугуна при растяжении (напряжение разрушения-разрыва) считать Sb = 300 МПа.

Решение.
 Выделим участок трубы длиной L. Поскольку лед в трубе неподвижен, считаем, что продольного изменения размеров нет.


 Вне трубы относительное изменение заключенного в этом участке объема воды после замерзания составило бы
в − ρл)/ρв,

а радиус льда составил бы
r = (d/2)√{(ρв − ρл)/ρв}.

Обозначим
λ = r − d/2.

 Мысленно разделим трубу на множество тонких слоев и рассмотрим слой толщиной dr, до замерзания льда отстоявший от центра на расстояние r. Будем считать, что после замерзания воды все слои увеличили свое расстояние до центра на одну и ту же величину x. Рассмотрим малый элемент этого слоя, опирающийся на угол в β радиан (см. рис.).
 В результате растяжения его относительное удлинение составляет x/r, поэтому натяжение на его боковых сторонах равно
T = (x/r)Eч,

силы натяжения равняются
Fm = (x/r)EчLdr,

а их равнодействующая направлена по радиусу к центру трубы и равна
Fp = (x/r)EчLβdr.

Интегрируя по толщине трубы, получаем:
Fч = d/2(d/2 + δ){Fpdr} = EчLβxln{(d/2 + δ)/(d/2)}.

 Сила давления льда на сектор трубы, ограниченный углом в β радиан, примерно равна
Fл = εлEлLβd/2,

(где εл = (λ − x)/(d/2)) и равна силе давления трубы на лед Fч. Для того, чтобы замерзшая вода не могла разорвать трубу, необходимо, чтобы натяжение во внешнем слое трубы
Tвн = xEч/(d/2 + δ)

было меньше напряжения разрыва:
Tвн < Sb.

 Решая нелинейную систему уравнений, получаем: δ > 5 см.

Примечание:
 Для стержней разного поперечного сечения S под влиянием одной и той же силы относительная деформация ΔL/L тем меньше, чем толще стержень, т.е. чем больше S. Отсюда для упругой деформации растяжения (сжатия) получаем, что относительное изменение длины ΔL/L должно быть пропорциональным величине fn/S, т.е. силе, отнесенной к единице поперечного стержня. Эту величину fn/S = pn назовем усилием (напряжением)

ΔL/L = αfn/S, или ΔL/L = αpn,

где коэффициент α, носящий название коэффициента упругости, зависит только от материала, из которого сделан стержень.
 Наряду с коэффициентом упругости α принято характеризовать материал обратной величиной:
E = 1/α,

которую называют модулем Юнга.
 При продольном растяжении стержень дает поперечное сжатие, при продольном сжатии − поперечное расширение. Относительное изменение толщины стержня Δd/d пропорционально действующему усилию pn:
Δd/d = βpn.

Коэффициент β называется коэффициентом поперечного сжатия при продольном растяжении.
Отношение
μ = β/α

называется коэффициентом Пуассона.
 Для большинства однородных изотропных тел (и металлов) коэффициент Пуассона близок по численному значению к 1/4.
 Металлы и сплавы со специальными свойствами − совокупность моно- и поликристаллических, аморфных и нанокомпозитных материалов, обладающих способностью очень сильно (на несколько порядков), даже в слабых полях внешних воздействий, изменять некоторые их физические свойства очень важные для практического применения. Например, сетка рабица изготавливается из низко-углеродистой, углеродистой или высоколегированной проволоки, что позволяет получить превосходные технические характеристики изделия.
 В промышленности активно используют штукатурную сетку тканую для транспортных лент, по которым происходит транспортировка продукции, при теплоизоляции промышленного оборудования, для фильтрации жидкостей и газов и много другого.
 Применения технологии разработки и создания материалов со специальными свойствами могут быть использованы как в гражданских, так и военных технических областях.


Смотрите еще:
Практикум абитуриента, школьника, олимпиадника.
Подготовка олимпиадника.
Подготовка абитуриента.