Два тела в результате столкновения обменялись скоростями, продолжая двигаться по одной и той же прямой

          

2.5.1. Два тела в результате столкновения обменялись скоростями, продолжая двигаться по одной и той же прямой. Каково отношение масс этих тел? Является ли их столкновение упругим?

Решение.

Пусть тела массами $m_1$ и $m_2$ движутся со скоростями $v_1$ и $v_2$ навстречу друг другу. Запишем закон сохранения импульса

$m_1\vec{v_1} + m_2\vec{v_2} = m_1\vec{v_2} + m_2\vec{v_1}$, (1)

здесь учтено, что по условию задачи тела обменялись скоростями.

Спроецируем (1) на ось $x$

$m_1v_1 - m_2v_2 = -m_1v_2 + m_2v_1$, (2)

или

$m_1(v_1 + v_2) = m_2(v_1 + v_2)$. (3)

Из уравнения (3) следует, что $m_1 = m_2$.

Запишем закон сохранения кинетической энергии

$\frac{m_1v_1^2}{2} + \frac{m_2v_2^2}{2} = \frac{m_1v_2^2}{2} + \frac{m_2v_1^2}{2}$. (4)

Перепишем (4)

$\frac{m_1}{2}(v_1^2 – v_2^2) = \frac{m_2}{2}(v_1^2 - v_2^2)$. (5)

Из уравнения (5) следует, что $m_1 = m_2$.

Уравнение (4) выполняется только для абсолютно упругого удара.

Вывод: условие задачи выполняется для взаимодействующих упруго тел равной массы.

Ответ: $\frac{m_1}{m_2} = 1$; да