Пружина жесткости k зажата между двумя телами

          

2.4.3*. Пружина жесткости $k$ зажата между двумя телами. После того как оба тела одновременно освободили, они до момента полного распрямления  пружины прошли расстояния $x_1$ и $x_2$. Какую кинетическую энергию приобрело каждое из этих тел?

Решение.

Если плоскость гладкая и трения нет, то в этом случае центр масс системы не изменит своего положения, а значит

$m_1x_1 = m_2x_2$. (1)

Импульс системы не изменится, следовательно:

$m_1v_1 = m_2v_2$. (2)

Запишем закон сохранения энергии

$\frac{m_1v_1^2}{2} + \frac{m_2v_2^2}{2} = \frac{k(x_1 + x_2)^2}{2}$. (3)

Из (1) и (2) находим

$m_2 = \frac{x_1}{x_2}m_1$; $v_2 = \frac{x_2}{x_1}v_1$. (4)

Теперь подставляем (4) в (3) и получаем для первого тела

$\frac{m_1v_1^2}{2} = \frac{k(x_1 + x_2)x_1}{2}$.

Для второго тела

$\frac{m_2v_2^2}{2} = \frac{k(x_1 + x_2)x_2}{2}$.

Ответ: $E_1 = \frac{k(x_1 + x_2)x_1}{2}$, $E_2 = \frac{k(x_1 + x_2)x_2}{2}$