Под каким углом к вертикали должен быть направлен гладкий желоб, чтобы шарик соскользнул по нему на наклонную плоскость за наименьшее время

          

1.3.3*. Под каким углом к вертикали должен быть направлен из точки $A$ гладкий желоб, чтобы шарик соскользнул по нему на наклонную плоскость за наименьшее время?

Решение

Рассмотрим возможные направления желоба из точки $A$. Видно, что меняя угол наклона желоба к плоскости меняется и длина желоба, но также изменяется и ускорение с которым шарик будет двигаться по желобу.

Из геометрических соображений:

$h = x \cdot tg\alpha + x \cdot tg\varphi$; $l = \frac{x}{cos\alpha}$. (1)

Шарик будет скатываться с ускорением

$a = g \cdot sin\alpha$.

Время находим из условия что шарик прошел путь $l$:

$l = \frac{at^2}{2}$,

$\frac{x}{cos\alpha} = \frac{gsin\alpha \cdot t^2}{2}$,

следовательно, выражая из (1) $x$, получим из последнего уравнения

$t^2 = \frac{2h}{g \cdot sin\alpha \cdot cos\alpha (tg\alpha + tg\varphi)}$.

Время будет минимально если $sin\alpha \cdot cos\alpha (tg\alpha + tg\varphi)$ будет максимально.

$sin\alpha \cdot cos\alpha (tg\alpha + tg\varphi) = \frac{sin\alpha}{cos\varphi}sin(\alpha + \varphi) = \frac{1}{2cos\varphi}(cos\varphi – cos(2\alpha + \varphi))$

Это выражение будет максимально когда $cos(2\alpha + \varphi)$ будет минимально, а значит равно – $1$, тогда $2\alpha + \varphi = \pi$, откуда

$\alpha = \frac{\pi}{2} - \frac{\varphi}{2}$.

Угол желоба к вертикали равен

$\beta = \frac{\pi}{2} - \alpha = \frac{\pi}{2} – (\frac{\pi}{2} - \frac{\varphi}{2}) = \frac{\varphi}{2}$

Ответ: угол желоба к вертикали, при котором шарик соскальзывает за наименьшее время равен $\frac{\varphi}{2}$