Из верхней точки окружности по гладкому желобу под углом к вертикали начинает скользить шарик

          

1.3.2. а. Из верхней точки окружности по гладкому желобу под углом $\varphi$ к вертикали начинает скользить шарик. За какое время он достигнет окружности, если ее диаметр $D$?

б. Из точки $A$ по спицам с разным наклоном одновременно начинают скользить без трения маленькие бусинки. На какой кривой будут находиться бусинки в момент времени $t$?

Решение.

а) Желоб представляет собой хорду. Время движения шарика вдоль хорды определяется из уравнения координаты, записанному в проекции на направление оси $OX$ вдоль хорды

$x = \frac{at^2}{2}$.

Когда шарик окажется на конце хорды

$L = x – x_0 = x = \frac{aT^2}{2}$,

откуда время достижения окружности

$T = \sqrt{\frac{2L}{a}}$. (1)

Выразим длину хорды через диаметр окружности

$L = D \cdot cos\varphi$.

Ускорение шарика определяется проекцией ускорения свободного падения на направление хорды

$a = g \cdot cos\varphi$.

Подставляем в уравнение ускорение и длину хорды

$T = \sqrt{\frac{2D \cdot cos\varphi }{ g \cdot cos\varphi }} = \sqrt{\frac{2D}{g}}$.

Время достижения шариками окружности в вдоль любой из хорд будет одинаковым.

б) Рассмотрим расстояние, проходимое бусинками за время $t$, скользящими без трения по спицам, расположенным под разными углами к вертикальному диаметру

$l = \frac{at^2}{2} = \frac{gcos\varphi \cdot t^2}{2}$,

Здесь угол $\varphi$ произвольный между спицей и вертикалью.

Перепишем последнее уравнение

$\frac{l}{cos\varphi} = \frac{gt^2}{2}$,

так как $\frac{l}{cos\varphi} = d$,

то не зависимо от того по какой спице будет скользить бусинка через время $t$ они будут на окружности, диаметр которой будет определяться выражением $\frac{gt^2}{2}$

Ответ: a) $t = \sqrt{\frac{2D}{g}}$; б) На окружности диаметра $\frac{gt^2}{2}$ с верхней точкой $A$