Из взрывчатого вещества изготовлен стержень длины l, из взрывчатого вещества нужно изготовить такую тонкостенную коническую оболочку

          

1.1.9. а) Из взрывчатого вещества изготовлен стержень длины $l$. Скорость детонации (скорость вовлечения во взрыв новых участков взрывчатого вещества) равна $v$, а скорость разлета продуктов взрыва $u$ ($v > u$). Как меняется со временем область, занятая продуктами взрыва? Сделайте рисунок.

б) Из взрывчатого вещества нужно изготовить такую тонкостенную коническую оболочку, чтобы при взрыве ее с вершины конуса продукты взрыва одновременно ударили по горизонтальной плите. Какой угол $\alpha$ между осью конуса и образующей нужно выбрать?

Решение

a) При взрыве стержня взрыв по нему распространяется быстрее чем разлетаются осколки т. к. $v > u$. Тут уместна аналогия со сверхзвуковым самолетом. Он создает конус, внутри которого слышно звук самолета, а вне конуса – нет. Тогда, если стержень еще продолжает взрываться (т.е. $t < \frac{l}{v}$), то область с осколками будет представлять собой конус, причем его задняя поверхность – часть сферы, которую образуют осколки от взрыва при $t = 0$.

Угол полураствора конуса можно найти, рассмотрев разлет осколков за некоторое время $t$. За это время самые первые удалятся от точки взрыва на расстояние $u \cdot t$, а взрыв распространится по стержню на расстояние $v \cdot t$. Тогда из прямоугольного треугольника находим, что

$sin\alpha = \frac{ut}{vt} =\frac{u}{v}$.

Когда стержень закончит взрываться, то от его края пойдет сфера осколков, таким образом, будет уже не просто конус, переходящий в часть сферы, а сфера, переходящая в усеченный конус, который переходит в другую сферу.

б) Рассмотрим две точки $A$ и $B$ на поверхности конуса. Для того чтобы осколки от взрыва их достигли основания конуса одновременно, нужно, чтобы за время распространения взрыва по конусу от т. $A$ до т. $B$ осколки т. $A$ поравнялись с т. $B$. Тогда осколки от обеих точек, после взрыва т. $B$, будут падать и оставаться все время на одной высоте, а значит, они достигнут основания конуса одновременно.

Из прямоугольного треугольника видно, что

$cos\alpha = \frac{ut}{vt} = \frac{u}{v}$.

Ответ: a) При $t < \frac{l}{v}$ граница области — конус с вершиной, находящейся на расстоянии $vt$ от конца стержня, переходящий в касающуюся его сферу радиуса $ut$. При $t > \frac{l}{v}$ — сферы с центрами на концах стержня и радиусами $ut$ и $u(t - \frac{l}{v})$ с касательной к ним конической поверхностью, б), $cos\alpha = \frac{u}{v}$