С подводной лодки, погружающейся вертикально и равномерно, испускаются звуковые импульсы

          

1.1.7. С подводной лодки, погружающейся вертикально и равномерно, испускаются звуковые импульсы длительности $\tau_0$. Длительность приема отраженного от дна импульса $\tau$. Скорость звука в воде $c$. С какой скоростью погружается подводная лодка?

Решение.

Рассмотрим, с чем связано изменение длительности сигнала. Для этого удобно перейти от длительности сигнала к его протяженности. Пусть сигнал, излучаемый гидролокатором на лодке, имеет форму, показанную на рисунке, то есть его интенсивность скачком меняется от нуля до некоторой величины в момент времени $t$, остается постоянной в течение времени $\tau$ и опять скачком падает до нуля в момент времени $t + \tau_0$. Если лодка неподвижна, то протяженность излучаемого сигнала (расстояние между передним и задним фронтами) равна

$l_0 = c \cdot \tau_0$.

Если лодка опускается, протяженность сигнала становится меньше. Действительно, пусть в момент начала сигнала лодка находится в некоторой точке $A$ (рис.), а к тому времени, когда сигнал прекращается, – в точке $C$, причем

$AC = v \cdot \tau_0$,

где $v$ – скорость погружения лодки. Передний фронт сигнала за время $\tau_0$ переместится в точку $B$, пройдя расстояние $l_0$. Следовательно, протяженность сигнала равна

$l_1 = BC = (c - v)\tau_0$.

Этот сигнал доходит до дна, отражается от него без изменения протяженности и движется навстречу лодке. В некоторый момент времени передний фронт сигнала поравняется с лодкой. Задний же фронт сигнала продолжает двигаться со скоростью $c + v$ относительно лодки, следовательно, длительность сигнала, принимаемого на лодке, равна

$\tau = \frac{l_1}{c + v} = \frac{c - v}{c + v} \cdot \tau_0$.

Решая последнее уравнение относительно искомой скорости погружения подводной лодки

$c\tau + v\tau = c\tau_0 – v\tau_0$,

находим,

$v = \frac{\tau_0 - \tau}{\tau_0 + \tau } \cdot c$

Ответ: скорость погружения подводной лодки $v = \frac{\tau_0 - \tau}{\tau_0 + \tau } \cdot c$