Три микрофона, расположенные на одной прямой в точках A, B, C зарегистрировали звук от взрыва

          

1.1.5*. Три микрофона, расположенные на одной прямой в точках $A$, $B$, $C$, зарегистрировали последовательно в моменты времени $t_A > t_B > t_c$ звук от взрыва, который произошел в точке $O$, лежащей на отрезке $AC$. Найдите отрезок $AO$, если $AB = BC = L$. В какой момент времени произошел взрыв?

Решение.

Пусть взрыв произошел в момент времени $t_0$, тогда время регистрации сигнала в точке $A$ равно:

$t_A = t_0 + \frac{L + x}{c}$, (1)

где $x = BO$.

Аналогично для точки $B$

$t_B = t_0 + \frac{x}{c}$, (2)

Для точки $C$

$t_C = t_0 + \frac{L - x}{c}$, (3)

Из первого уравнения вычтем второе:

$t_A – t_B = \frac{L}{c}$. (4)

А из первого уравнения вычтем третье

$t_A – t_C = \frac{2x}{c}$. (5)

Из (4) уравнения выразим $c = \frac{L}{t_A – t_B}$, а из (5) $x = \frac{t_A – t_C}{2} \cdot c$, Тогда искомое расстояние

$AO = L + x = L + \frac{t_A – t_C}{2}\frac{L}{t_A – t_B}$.

После преобразования

$AO = \frac{3t_A – 2t_B – t_C}{2(t_A – t_B)} \cdot L$. (6)

Для определения момента времени в который произошел взрыв, подставим в выражение

$t_A = t_0 + \frac{L + x}{c}$, $c = \frac{L}{t_A – t_B}$ и $\frac{t_A – t_C}{2} = \frac{x}{c}$

после преобразований

$t_0 = t_B - \frac{1}{2} \cdot (t_A – t_C)$.

Ответ: $AO = \frac{3t_A – 2t_B – t_C}{2(t_A – t_B)} \cdot L$, $t_0 = t_B - \frac{1}{2} \cdot (t_A – t_C)$