Сверхзвуковой самолет летит горизонтально Два микрофона, находящихся на одной вертикали на расстоянии l друг от друга

          

1.1.11*. Сверхзвуковой самолет летит горизонтально Два микрофона, находящихся на одной вертикали на расстоянии $l$ друг от друга, зарегистрировали приход звука от самолета с запаздыванием времени $\Delta t$. Скорость звука в воздухе $c$. Какова скорость самолета?

Решение.

На рисунке изображены последовательные перемещения сверхзвукового самолета (источника звука) и фронта звуковой волны (огибающей вторичных волн).

Пусть при пролете самолета через точку $A$ в атмосфере возбуждается звуковая волна, и через некоторое время $t$ волновое возмущение достигает первого микрофона $M_1$. В этот момент времени самолет находится в точке $B_1$, и прямая $B_1M_1$ определяет положение волнового фронта. За последующий промежуток времени $\Delta t$ самолет перемещается в точку $B_2$, а волновой фронт, двигаясь со скоростью $c$, перемещается в положение $B_2EM_2$. Из прямоугольного треугольника $AB_1M_1$ находим

$sin\alpha = \frac{AM_1}{AB_1} = \frac{ct}{vt} = \frac{c}{v}$, (1)

а из прямоугольного треугольника $M_1M_2E$

$cos\alpha = \frac{c\Delta t}{l}$. (2)

Перепишем (1) и (2)

$sin^2\alpha = \frac{c^2}{v^2}$, (3)

$cos^2\alpha = \frac{(c\Delta t)^2}{l^2}$. (4)

Складываем левые и правые части уравнений, соответственно

$1 = \frac{c^2}{v^2} + \frac{(c\Delta t)^2}{l^2}$.

Решая последнее уравнение относительно искомой скорости самолета $v$, находим:

$v = \frac{c \cdot l}{\sqrt{l^2 – c^2 \Delta t^2}}$

Ответ: $v = \frac{c \cdot l}{\sqrt{l^2 – c^2 \Delta t^2}}$