Из какой области около шоссе вы можете догнать автобус, если скорость вашего бега u < v

          

1.1.10. По прямому шоссе едет автобус с постоянной скоростью $v$. Вы заметили автобус, когда он находился в некоторой точке $A$. Из какой области около шоссе вы можете догнать автобус, если скорость вашего бега $u < v$? Нарисуйте эту область для $u = \frac{v}{2}$.

Решение.

Чтобы выбежать на шоссе как можно раньше, человек должен избрать кратчайший путь. Если при этом он даже и успеет выбежать на шоссе впереди автобуса, то все равно расстояние до автобуса не будет максимальным из возможных. В самом деле, если бежать не перпендикулярно шоссе, а под некоторым небольшим углом $\alpha$ к перпендикуляру (рис.), то путь человека до шоссе увеличится на величину $\Delta l$, но зато он выбежит на дорогу на расстоянии $d$ правее точки $C$. Если выбрать угол $\alpha$ достаточно малым, то расстояние $d$ можно сделать больше расстояния $\Delta l$ в любое число раз. Поэтому, несмотря на то, что скорость человека $u$ меньше скорости автобуса $v$, он окажется на шоссе на большем расстоянии от автобуса, чем в точке $C$.

В каком же направлении следует бежать человеку? Оказывается, что на этот вопрос легко ответить, если перейти в систему отсчета, в которой автобус покоится. Эта система отсчета движется относительно земли в левую сторону со скоростью $v$.

Вектор полной скорости человека в новой системе отсчета $\vec{V}$ равен векторной сумме $-\vec{v}$ скорости автобуса и скорости человека относительно земли $\vec{u}$ и направлен по прямой $AB$

$\vec{V} = -\vec{v} + \vec{u}$.

Теперь нетрудно сообразить, что эта задача эквивалентна задаче о минимальном сносе лодки при переправе на другой берег реки. Так как в рассматриваемой системе отсчета автобус неподвижен, то требование выбежать на шоссе как можно дальше от автобуса равносильно требованию минимального сноса лодки при переправе через реку.

Траектория человека в системе отсчета, где автобус неподвижен, – это отрезок прямой $BA$. Траектория же в системе отсчета, связанной с землей, – отрезок прямой $BD$. Таким образом, бежать к шоссе нужно не по кратчайшему пути, а под углом $\alpha$ к нему, причем

$sin \alpha = \frac{u}{v}$.

Из рис. видно, что человек сможет прибежать на шоссе раньше автобуса только в том случае, если в начальный момент автобус находится от точки $C$ на расстоянии, не меньшем

$s_{min} = \frac{|BC| \cdot \sqrt{v^2 – u^2}}{u}$.

Рассмотренная задача может служить примером того, как удачный выбор системы отсчета позволяет значительно облегчить её решение.

Ответ: Из области, ограниченной углом $\beta = 2\alpha = 2 arcsin \frac{u}{v}$, при $v = 2u$ имеем $\beta = 2 \cdot arcsin \frac{1}{2} = 60^0$ с вершиной в точке $A$, биссектриса которого — шоссе.