• Предыдущая задача

 10(К). Батискаф представляет собой шар радиусом r = 2 м. При испытаниях в море в нижней части батискафа образовалась течь, и он затонул, а в его верхней части образовалась воздушная прослойка в виде шарового сегмента толщиной h = 1 м. Чему равна глубина моря Н, на которой затонул батискаф? Какая масса воздуха понадобится для того, чтобы вытеснить из батискафа всю воду? Начальное (атмосферное) давление воздуха в батискафе равно давлению, которое создает слой воды толщиной Н_o = 10 м.
 Указание: объем шарового сегмента толщиной h равен ΔV = πh²(3r − h)/3.

 Решение.
 Свободная поверхность воды внутри батискафа горизонтальна. Давление вблизи нее, равное давлению воздуха в батискафе, меньше давления в нижней части батискафа (точка А на рис.)

на величину ρg(2r − h), где ρ = 10 кг/м³ − плотность воды.
В свою очередь, давление в точке А (дно водоема) складывается из атмосферного давления и давления слоя воды толщиной Н. Чтобы найти глубину водоема, необходимо для воздуха, находящегося внутри батискафа (его масса по условию не изменилась), записать закон Бойля-Мариотта:
ρg(H_o + H − (2r − h))ΔV = ρgH_o × (4/3)πr³.
По условию, h = r/2, поэтому окончательно находим
H = (27/5)H_o + (3/2)r = 57 м.
 Чтобы найти массу воздуха, необходимую для вытеснения из батискафа воды, учтем, что в конце, когда воздух заполняет весь объем батискафа, его давление превышает атмосферное на ρgH.
 Из уравнения состояния находим искомую массу воздуха:
m = MρgH (4/3)πr³/(RT) = 225 кг,
где М = 29 г/моль − молярная масса воздуха, Т = 290 К − его температура. Можно отметить, что в стандартном баллоне объемом 40 л под давлением 200 атм. при комнатной температуре содержится приблизительно 10 кг воздуха.

• Следующая задача