Партнеры
Вход в систему
Яндекс.Метрика
on-line
Сейчас на сайте 0 пользователей и 24 гостя.

Задача о трении намотанного каната.

 Для остановки речных судов у пристани с них бросают канат, который наматывают на столб, стоящий на пристани. Один конец каната прикреплён к судну, а другой тянет рабочий на пристани. Известны коэффициент трения каната о столб k (например, характерное значение k = 1/3), число витков каната вокруг столба (например, 3 витка). Пусть рабочий тянет с силой 100 Н. Какая сила тормозит судно?

Решение.
 Рассмотрим силы, действующие на кусок каната, лежащий от направления, составляющего угол φ с некоторым начальным направлением отсчёта углов, до направления, составляющего угол φ + Δφ с этим же начальным направлением. Это силы натяжения каната

T(φ) и T(φ + Δφ),

действующие по касательным (рис.),

реакция столба N, направленная по нормали к канату (считаем βφ малым!), и сила трения Fтр, тоже направленная по касательной и по величине равная
Fтр = kN.

 Векторная сумма этих сил должна быть равна 0. Перенося точку приложения всех сил в точку каната, соответствующую углу φ, получим картинку (рис.),

из которой, приравнивая к 0 сумму касательных и нормальных составляющих всех сил, находим, что
0 = N + BA = N − T(φ + Δφ)sinΔφ ≈ N − T(φ)Δφ,

0 = T(φ + Δφ)cosΔφ − T(φ) − Fтр ≈ T(φ + Δφ) − T(φ) − Fтр

(мы воспользовались тем, что если x мало?, то
sinx ≈ x и cosx ≈ 1,

поскольку
(sinx)/|x = 0 = 1, (cosx)/|x = 0 = 0,

т. е. lim(sinx/x) = x, при x → 0, lim(cosx − 1)/x = 0, при x → 0.
В итоге получим
T(φ + Δφ) − T(φ) ≈ F = kN ≈ kT(φ)Δφ,

откуда, деля обе части на Δφ и переходя к пределу при Δφ → 0, получаем
T/(φ) = kT(φ) и T(φ) = Toe,

где To − сила на уровне φ = 0.
 Можно, например, взять в качестве φ = 0 то место, где канат сматывается в сторону рабочего, так что
To = 100 Н.

 Если канат делает 3 оборота, то сила, действующая на судно, получается при φ = 6π, т. е. в этом случае
T(φ) = T(6π) = Toe = 100e ≈ 50000 Н.

 Итак, если рабочий тянет канат с силой 100 Н, приблизительно равной весу груза с массой 10 кг, то судно тормозит сила величиной 5•104 Н, примерно равная весу груза массой 5000 кг = 5 т.
 Эту силу можно, разумеется, сделать сколь угодно большой, увеличивая число оборотов каната вокруг столба.


Смотрите еще:
Практикум абитуриента, школьника, олимпиадника.
Подготовка олимпиадника.
Подготовка абитуриента.