Вход в систему
События
on-line
Сейчас на сайте 0 пользователей и 32 гостя.
Яндекс.Метрика

Метод зон Френеля.

 Вычисления по формуле


представляет собой в общем случае очень трудную задачу. Однако, как показал Френель, в случаях, отличающихся симметрией, нахождение амплитуды результирующего колебания может быть осуществлено простым алгебраическим или геометрическим суммированием.
 Найдем в произвольной точке М амплитуду сферической световой волны, распространяющейся в однородной среде из точечного источника S.
 Согласно принципу Гюйгенса-Френеля, заменим действие источника S действием воображаемых источников, расположенных на вспомогательной поверхности Ф, являющейся поверхностью фронта волны, идущей из S (поверхность сферы с центром S). Френель разбил волновую поверхность A на кольцевые зоны такого размера, чтобы расстояния от краев зоны до М отличались на λ/2,

 Подобное разбиение фронта волны на зоны можно выполнить, проведя с центром в точке разбиения фронта волны на зоны можно выполнить, проведя с центром в точке М сферы радиусами


 Так как колебания от соседних зон проходят до точки М расстояния, отличающиеся на λ/2, то в точку М они приходят в противоположной фазе и при наложении эти колебания будут взаимно ослаблять друг друга. Поэтому амплитуда результирующего светового колебания в точке М:

где А1, А2, … Аm − амплитуды колебаний, возбуждаемых 1-й, 2-й, …, m-й зонами.
 Для оценки амплитуд колебаний найдем площади зон Френеля. Пусть внешняя граница m-й зоны выделяет на волновой поверхности сферический сегмент высоты hm (рис.).

 Обозначив радиус этого сегмента через rm, найдем, что площадь m-й зоны Френеля:

здесь σm-1 − площадь сферического сегмента, выделяемого внешней границей m1-й зоны. Из рисунка следует, что

 После элементарных преобразований, учитывая, что λ << a и λ << b, получим

 Площадь сферического сегмента и площадь m-й зоны Френеля:

где Δσm площадь m-й зоны Френеля, которая, как показывает последнее выражение, не зависит от m. При не слишком больших m площади зон Френеля одинаковы.
 Таким образом, построение зон Френеля разбивает волновую поверхность сферической волны на равные зоны.
 Найдем радиусы зон Френеля

откуда

 Согласно предположению Френеля, действие отдельных зон в точке М тем меньше, чем больше угол φm между нормалью к поверхности зоны и направлением на М, т.е. действие зон постепенно убывает от центральной (около Р0) к периферическим. Кроме того интенсивность излучения в направлении точки М уменьшается с ростом m и вследствие увеличения расстояния от зоны до точки М. Учитывая оба этих фактора, можем записать:

Фазы колебаний, возбуждаемых соседними зонами, отличаются на π. Поэтому амплитуда результирующего колебания в точке М определяется выражением

 Последнее выражение запишем в виде:

 Вследствие монотонного убывания амплитуд зон Френеля с возрастанием номера зоны, амплитуда колебания Am от некоторой m-й зоны Френеля равна среднему арифметическому от амплитуд примыкающих к ней зон

Тогда

 Таким образом, амплитуда результирующих колебаний в произвольной точке М определяется действием только половины центральной зоны Френеля. Следовательно, действие всей волновой поверхности на точку М сводится к действию ее малого участка, меньшего центральной зоны.
 Если на пути волны поставить непрозрачный экран с отверстием, оставляющим открытой только первую зону Френеля, амплитуда в точке М равна А1, а интенсивность в 4 раза больше, чем при отсутствии преграды между точками S и M.
 Распространение света от S к M происходит так, будто световой поток распространяется внутри очень узкого канала вдоль прямой SM, т.е. прямолинейно. Таким образом, принцип Гюйгенса-Френеля позволяет объяснить прямолинейное распространение света в однородной среде.
 Правомерность деления волнового фронта на зоны Френеля подтверждена экспериментально. Если поставить на пути световой волны пластинку, которая перекрывала бы все четные или нечетные зоны Френеля, то интенсивность света в точке М резко возрастает. При закрытых четных зонах Френеля амплитуда в точке М будет равна

 В опыте зонная пластинка во много раз увеличивает интенсивность света в точке М, действуя подобно собирающей линзе.
 Еще большего эффекта можно достичь, не перекрывая четные (или нечетные) зоны Френеля, а изменяя фазу их колебаний на 180°. Такая пластинка называется фазовой зонной пластинкой. По сравнению с амплитудной зонной пластинкой фазовая дает дополнительное увеличение амплитуды в 2 раза, а интенсивность света − в 4 раза.

Смотрите еще:
Дисперсия света. Аномальная дисперсия.
Группа волн.
Расчет разности хода для лучей, отраженных от тонкой прозрачной пластинки
Полосы равной толщины и равного наклона.
Кольца Ньютона.
Принцип Гюйгенса-Френеля.
Метод зон Френеля.


В практикум абитуриента
В учебник по теории
Задачи на интерференцию для самостоятельной работы
В банк задач абитуриента