Партнеры
on-line
Сейчас на сайте 0 пользователей и 21 гость.
Вход в систему
Яндекс.Метрика

Математические теоремы.

   Для решения задач рассмотрим вспомогательные математические теоремы.
   Треугольник.
   1. Сумма внутренних углов в треугольнике равна 180°:


α + β + γ = 180° = π

   2. Теорема косинусов:

a2 = b2 + c2 − 2bc × cosα,
b2 = a2 + c2 − 2ac × cosβ,
c2 = a2 + b2 − 2ab × cosγ.

   2.1. Теорема Пифагора
   В прямоугольном треугольнике, например α = 90°, тогда

a2 = b2 + c2 − 2bc × cosα = b2 + c2 − 2bc × 0, = b2 + c2,

   или
a2 = b2 + c2,

   где a – гипотенуза прямоугольного треугольника, b, c − катеты прямоугольного треугольника.
   3. Теорема синусов:
a/sinα = b/sinβ = c/sinγ = 2R,

где a, b, с − стороны треугольников, α, β, γ − углы, лежащие напротив соответствующих сторон, R – радиус описанной окружности.
   4. Соотношение между сторонами прямоугольного треугольника.

sinα = a/c, cosα = b/c, tgα = a/b,
sinβ = b/c, cosβ = a/c, tgβ b/a,
a2 + b2 = c2

или
c2 sin2α + c2cos2α = c2,

   получаем
sin2α + cos2α = 1

   – основное тригонометрическое тождество.

Площади и объемы геометрических фигур.

   1. Параллелепипед.

   Свойства диагоналей.
AC1 = BD1 = CA1 = DB1 = d,
d2 = a2 + b2 + c2.

Все диагонали пересекаются в одной точке и делятся ею пополам.

   Площадь поверхности.

S = 2(ab + bc + ac).

   Объем

V = a × b × c.

   1.1. Куб

a = b = с, d = a√3, S = 6a2, V = a3.

   2. Пирамида.
   Площадь поверхности:


Sпир = Sбок + Sосн,

   где Sбок − площадь боковой поверхности, Sосн − площадь основания.

   Объем.

V = (1/3)QH

   где Q − площадь основания, H − высота пирамиды.

   3. Цилиндр.
   Площадь боковой поверхности:


Sбок = 2πRH.

   Площадь полной поверхности:
Sцил = 2πRH + 2πR2.

   Объем цилиндра:

V = πR2H.

   4. Конус.
   Площадь боковой поверхности:


Sбок = πRL.

   Площадь полной поверхности:

Sкон = πRL + πR2.

   Объем конуса:

V = (1/3)πR2H.

   4.1. Усеченный конус.
   Площадь боковой поверхности:


Sбок = π(R + r)l.

   Площадь поверхности:

Sкон = πR2 + πr2 + π(R + r)l.

   Объем усеченного конуса:

V = (1/3)πH(R2 + Rr + r2).

   5. Шар.
   Площадь поверхности:


S = 4πR2.

   Объем:

V = (4/3)πR3.

   Площадь сферического сегмента:

S = 2πRH,

где H − высота сегмента.
   Объем шарового сегмента:

V = (1/3)πH2(3R − H).

   Объем шарового сектора:

V = (2/3)πR2H.