Математические теоремы.

   Для решения задач рассмотрим вспомогательные математические теоремы.
   Треугольник.
   1. Сумма внутренних углов в треугольнике равна 180°:

α + β + γ = 180° = π

   2. Теорема косинусов:

a² = b² + c² − 2bc × cosα,
b² = a² + c² − 2ac × cosβ,
c² = a² + b² − 2ab × cosγ.

   2.1. Теорема Пифагора
   В прямоугольном треугольнике, например α = 90°, тогда

a² = b² + c² − 2bc × cosα = b² + c² − 2bc × 0, = b² + c²,
   или
a² = b² + c²,
   где a – гипотенуза прямоугольного треугольника, b, c − катеты прямоугольного треугольника.
   3. Теорема синусов:
a/sinα = b/sinβ = c/sinγ = 2R,
где a, b, с − стороны треугольников, α, β, γ − углы, лежащие напротив соответствующих сторон, R – радиус описанной окружности.
   4. Соотношение между сторонами прямоугольного треугольника.

sinα = a/c, cosα = b/c, tgα = a/b,
sinβ = b/c, cosβ = a/c, tgβ b/a,
a² + b² = c²
или
c² sin²α + c²cos²α = c²,
   получаем
sin²α + cos²α = 1
   – основное тригонометрическое тождество.

Площади и объемы геометрических фигур.
   1. Параллелепипед.

   Свойства диагоналей.
AC₁ = BD₁ = CA₁ = DB₁ = d,
d² = a² + b² + c².
Все диагонали пересекаются в одной точке и делятся ею пополам.

   Площадь поверхности.

S = 2(ab + bc + ac).

   Объем

V = a × b × c.

   1.1. Куб

a = b = с, d = a√3, S = 6a², V = a³.

   2. Пирамида.
   Площадь поверхности:

S_пир = S_бок + S_осн,
   где S_бок − площадь боковой поверхности, S_осн − площадь основания.

   Объем.

V = (1/3)QH
   где Q − площадь основания, H − высота пирамиды.

   3. Цилиндр.
   Площадь боковой поверхности:

S_бок = 2πRH.
   Площадь полной поверхности:
S_цил = 2πRH + 2πR².

   Объем цилиндра:

V = πR²H.

   4. Конус.
   Площадь боковой поверхности:

S_бок = πRL.

   Площадь полной поверхности:

S_кон = πRL + πR².

   Объем конуса:

V = (1/3)πR²H.

   4.1. Усеченный конус.
   Площадь боковой поверхности:

S_бок = π(R + r)l.

   Площадь поверхности:

S_кон = πR² + πr² + π(R + r)l.

   Объем усеченного конуса:

V = (1/3)πH(R² + Rr + r²).

   5. Шар.
   Площадь поверхности:

S = 4πR².

   Объем:

V = (4/3)πR³.

   Площадь сферического сегмента:

S = 2πRH,

где H − высота сегмента.
   Объем шарового сегмента:

V = (1/3)πH²(3R − H).

   Объем шарового сектора:

V = (2/3)πR²H.

---