Партнеры
Вход в систему
Яндекс.Метрика
on-line
Сейчас на сайте 0 пользователей и 2 гостя.

Равновесие частиц свободной поверхности жидкости вдали от стенок сосуда

 Учитывая подвижность молекул или атомов, из которых состоят жидкости и газы, можно рассматривать неподвижность или статическое равновесие только их конечных, не микроскопических («макроскопических», как их часто называют) объемов. Говоря о неподвижных «точках» или «частицах» в покоящейся жидкости, имеют в виду именно такие объемы. Условием их статического равновесия будет по-прежнему равенство нулю геометрической суммы всех сил, действующих на них извне.
 Материальная точка может находится в покое только при условии равенства нулю суммы внешних сил, приложенных к ней

F = F1 + F2 + F3 + … = 0.

 Большой интерес представляет рассмотрение равновесия частиц свободной поверхности жидкости в случае движения всей жидкости вместе с сосудом. Это равновесие достигается только при условии перпендикулярности каждого участка свободной поверхности к результирующей всех сил, действующих на него со стороны нижележащих частиц, так как в противном случае возможно «перетекание» частиц вдоль слоя и будет нарушена относительная неподвижность его частиц.

Рассмотрим решение следующих задач.
Пример 1. Железнодорожная цистерна с бензином движется равно-мерно со скоростью v по прямолинейному горизонтальному пути. Как будет располагаться свободная поверхность бензина при ускоренном движении цистерны и при ее торможении? Принять ускорение и замедление равным а.

Решение.
 Рассмотрим одну из частиц свободной поверхности жидкости (точка В на рис.).


Пусть масса частицы равна m. Находясь в поле силы тяжести Земли, она будет испытывать действие силы веса Р. В случае равномерного движения (рис. а) воздействие на нее всех соседних частиц сведется к равнодействующей силе направленной вертикально вверх и численно равной силе веса Р. Иной схемы приложения сил к частице быть не может, так как она не движется по вертикали, а ее горизонтальное движение с постоянной скоростью не нуждается в «движущей» силе. В этом случае поверхность бензина в месте нахождения точки В и во всех других точках (явление смачивания стенок бензином пока не рассматриваем) должна располагаться горизонтально (перпендикулярно к направлению силы R1).
 В случае ускоренного движения вправо (рис. б) на частицу по-прежнему будет действовать сила веса Р, но результирующая сила воздействий соседних участков R2 не может теперь уравновешивать силу Р. Частица В должна вместе с цистерной двигаться вправо с ускорением а. Причиной такого движения может быть геометрическая сумма F2 векторов Р и R2, так как других, реально приложенных к частице В сил нет. Численное значение силы F2 определяется по II закону Ньютона
F2 = mа.

 Из рисунка видно, что для обеспечения такой силы равнодействующая R2 должна быть наклонена под каким-то углом α к вертикали в сторону движения. Численное значение F2 можно связать с численным значением веса частицы Р:
F2 = Ptgα = mgtgα.

 Приравнивая правые части двух предыдущих выражений и сокращая на m, можно получить:
tgα = a/g

откуда
α = arctg(a/g).

 Свободная поверхность бензина в этом случае будет наклонена к горизонту под углом α (из-за ее перпендикулярности к направлению силы R2) и останется плоской, так как для любой другой ее точки направление силы R2 будет таким же, как для точки В. Величина угла наклона зависит при постоянном g только от величины ускорения а.
 Выяснить, каков будет угол наклона поверхности бензина к горизонту при замедленном движении цистерны (рис. в), можно аналогичным образом.

Пример 2. Игрушечное ведерко, заполненное водой вровень с краями, привязано к веревке длиной l и вращается в вертикальной плоскости. С какой угловой скоростью ωв мы должны вращать такую систему, чтобы вода из ведерка не выливалась?

Решение.
 Рассмотрим частицу жидкости К с массой m, находящуюся под свободной поверхностью воды, при произвольном положении ведерка, когда направление веревки составляет угол α с вертикалью (рис.).


Частица движется по окружности радиуса, равного длине веревки l (пренебрегая размерами ручки ведра и т. д.). Роль необходимой для кругового движения центростремительной силы может выполнять в данном случае только радиальная составляющая Т силы веса частицы, так как силы воздействия со стороны соседних частиц воды на данную частицу симметричны и уравновешиваются. Значит, должно выполняться равенство
Т = Fцс,

причем
T = Pcosα = mgcosα

а
Fцс = mv2/l = mωв2l.

Тогда
mgcosα = mωв2l,

откуда окончательно
ωв = √{gcosα/l}.

 Анализируя это выражение, легко заметить, что наиболее «опасным» будет расположение ведерка вверх дном, когда α = 0 и
ωmax = √{g/l}.

 Систему нужно вращать в данном месте на Земле с угловой скоростью, ωв ≥ ωmax, тем меньшей, чем длиннее веревка.
 А будет ли достаточной минимальная скорость ωв (соответствующая случаю ωв = ωmax) для вращения того же ведерка в горизонтальной плоскости?

На рис. изображена частица К поверхностного слоя воды. Она должна двигаться по горизонтальной окружности радиуса l с центром на вертикальной оси О − О. Сила веса частицы Р должна быть чем-то уравновешена, иначе она приведет к «сползанию» частицы К вниз, а это приведет к вытеканию воды из ведерка. Кроме того, на частицу должна действовать центростремительная сила Fцс, направленная горизонтально влево для изображенного на рисунке положения частицы. Такую силу не могут создать соседние частицы воды при вертикальном расположении свободной поверхности (по линии I − I). Эти частицы (расположенные правее линии I − I) в лучшем случае будут действовать на частицу K с силами молекулярного притяжения, результирующая которых может быть направлена только вправо и не может ни создать центростремительной силы Fцс, ни уравновесить веса Р.
 При каком же условии частица K сможет двигаться по горизонтальной окружности? Для этого свободная поверхность воды должна наклониться под каким-то углом β к горизонту (принять положение II − II). Тогда результирующая R действия соседних частиц в сумме с силой Р сможет обеспечить необходимую силу Fцс. Это же будет одновременно являться и условием уравновешивания веса Р вертикальной составляющей силы R. Из рисунка видно, что
Fцс = Ptgβ = mgtgβ,

но, с другой стороны, значение центростремительной силы можно найти как
Fцс = mωг2l,

где ωг − угловая скорость движения частицы в этом случае.
Тогда должно быть
mgtgβ = mωг2l,

откуда
ωг = √{gtgβ/l}.

 Значение угловой скорости ωг сравняется с минимальным значением ωв при значении угла наклона поверхности воды к горизонту β = π/4.
 По условию задачи ведерко наполнено водой до краев, и любой наклон ее поверхности от вертикального положения приведет к выливанию воды (если только само ведерко с веревкой не наклонено так, что веревка образует какой-то угол с горизонталью и описывает коническую поверхность при вращении).
 Но тогда какой должна быть угловая скорость вращения, чтобы при вращении веревки строго в горизонтальной плоскости вода из полного ведерка все же не выливалась? Условием невыливания воды в этом случае является вертикальное расположение ее свободной поверхности, т. е. β = π/2, но при этом по уравнению для ωг получаем ωг = ∞.
Вывод ясен: ни при каком конечном значении ωг нам не удастся раскрутить полное ведерко в горизонтальной плоскости так, чтобы веревка располагалась горизонтально и вода не выливалась.
 Почему второй вариант движения оказался нереальным? Из-за того, что необходимая центростремительная сила могла возникнуть при наклоне свободной поверхности воды, а это было бы равнозначно ее вытеканию из полного ведерка. Если ведерко высокое, а воды в нем мало, подобный опыт, конечно, удается.

Решите следующие задачи
1. В цилиндрический сосуд радиусом R и высотой H наливают жидкость плотностью ρ. Определите силу давления жидкости на дно и боковую стенку цилиндра.

2. До какой высоты необходимо налить жидкость в цилиндр радиуса R, чтобы сила давления на дно и стенку сравнялись.

3. В сосуд опускают тело плотностью ρ/2. Какая часть объема будет погружена в жидкость при движении цилиндра вертикально вверх с ускорением a = g/2?

4. Цилиндр, как цистерну, разгоняют с горизонтальным ускорением a. Определите силу давления на боковую поверхность. Жидкость заполняет цистерну полностью.

5. Если половину жидкости вылить, то насколько будут отличаться высоты на задней и передней боковой стенке цистерны-цилиндра при движении с горизонтальным ускорением.

6. Цилиндр, заполненный жидкостью до половины, ставят вертикально и начинают раскручивать с постоянной угловой скоростью ω вокруг оси симметрии. Определите форму поверхности жидкости (установите закон).

7. До какой угловой скорости надо раскрутить цилиндр, чтобы жидкость стала выливаться.

Ответы:

  1. Fд = ρgHπR2, Fб = ρgπRH2.
  2. R = H.
  3. 50 %.
  4. F = ρπR2(Ha + Rg).
  5. h = aH/g.
  6. z = h + ω2r2/(2g).
  7. ω = (1/R)√{gH}.

Смотрите еще:
Практикум абитуриента, школьника, олимпиадника.
Подготовка олимпиадника.
Подготовка абитуриента.