Партнеры
Вход в систему
Яндекс.Метрика
on-line
Сейчас на сайте 0 пользователей и 3 гостя.

101. Шар радиусом R равномерно заряжен с объемной плотностью заряда ρ. Вычислите распределение потенциала внутри и вне шара. За нулевой уровень отсчета потенциала принять бесконечность.

Решение.
 Сначала рассмотрим область пространства вне шара: R ≤ r ≤ ∞, где r − расстояние от центра шара до выбранной точки пространства.
 В этой области заряженный шар создает точно такое же электрическое поле, как и точечный заряд, помещенный в центр шара. Поэтому напряженность поля на расстоянии r от шара равна


 Приращение потенциала для данного случая можно записать так:

где dr − малое изменение расстояния r. Просуммируем обе части данного уравнения:

После интегрирования получим

Для определения константы С1 используем граничное условие: при r → ∞ φ → 0. Отсюда следует, что С1 = 0, следовательно, распределение потенциала в области R ≤ r ≤ ∞ имеет вид

 Теперь рассмотрим область пространства внутри шара: 0 ≤ r ≤ R. В этом случае напряженность электрического поля определяется только зарядом внутри шара радиусом r и равна

Тогда

Для определения константы С2 воспользуемся граничным условием: при

это значение потенциала находится из полученного выше распределения. Отсюда получим, что

Окончательное выражение для распределения потенциала в области 0 ≤ r ≤ R имеет вид

 График зависимости φ(r) при 0 ≤ r ≤ ∞ изображен на рисунке.


В банк задач абитуриенту