На гладкой горизонтальной поверхности около стенки стоит симметричный брусок массы m1 с углублением полусферической формы

          

2.3.3.1. На гладкой горизонтальной поверхности около стенки стоит симметричный брусок массы $m_1$ с углублением полусферической формы радиуса $R$. Из точки $A$ без трения и начальной скорости соскальзывает маленькая шайба массы $m_2$. Максимальная скорость бруска при его последующем движении равна ...

Решение.

Давайте рассмотрим последовательные фазы взаимодействия бруска и шайбы.

На первом рисунке, при соскальзывании шайба действует на брусок силой, направленной к стенке,

тем самым прижимая брусок к ней. Начиная от положения равновесия, в котором шайба приобрела скорость равную

$m_2gR = \frac{m_2v_0^2}{2}$, $v_0 = \sqrt{2gR}$ (1)

шайба будет действовать на брусок силой, направленной вправо, разгоняя его.

Когда шайба окажется в высшей своей точке подъема скорость бруска станет равной $v_1^/$. Эта скорость не является максимальной для бруска так как при обратном движении шайбы (см. рисунок),

она по-прежнему будет действовать на брусок вправо, увеличивая его скорость. При обратном движении, шайба, проходя положение равновесия со скоростью $v_2$ сообщит бруску максимальную скорость $v_1$, так как начиная с этого момента шайба начинает действовать на брусок силой, направленной влево, тем самым уменьшая его скорость.

Запишем закон сохранения импульса в проекции на направление движения бруска (ось ОХ направлена вправо):

$m_2v_0 = m_1v_1 – m_2v_2$, (2)

и закон сохранения кинетической энергии (трения нет)

$m_2gR = \frac{m_2v_0^2}{2} = \frac{m_2v_2^2}{2} + \frac{m_1v_1^2}{2}$. (3)

Запишем пару уравнений (2) и (3) в виде:

$m_2(v_0 + v_2) = m_1v_1$

$m_2(v_0^2 – v_2^2) = m_1v_1^2$.

Разделим нижнее уравнение на верхнее соответственно, получим

$v_0 – v_2 = v_1$, откуда $v_2 = v_0 – v_1$.

Сделаем подстановку в (2), преобразуем и получим

$v_1 = \frac{2m_2v_0}{m_1 + m_2}$.

Окончательно, с учетом (1), имеем конечную формулу для определения максимальной скорости бруска

$v_1 = \frac{2m_2}{m_1 + m_2} \cdot \sqrt{2gR}$

Ответ: максимальная скорость бруска при его последующем движении равна $v_1 = \frac{2m_2}{m_1 + m_2} \cdot \sqrt{2gR}$