• Предыдущая задача.

   14(МГУ). Начальный участок трассы скоростного спуска, расположенный вниз по склону горы с углом наклона α = 45° к горизонту, горнолыжник прошел, не отталкиваясь палками. Какую максимальную скорость мог развить спортсмен на этом участке, если его масса m = 70 кг? Коэффициент трения лыж о снег μ = 0,1, сила сопротивления воздуха пропорциональна квадрату скорости: F = kv², где постоянный коэффициент k = 0,9 кг/м. Ускорение свободного падения принять g = 10 м/с².

   Горнолыжник, скатывающийся по наклонному участку трассы, находится под действием сил: mg – сила тяжести, N – нормальная составляющая силы реакции склона, F_mp – сила трения лыж о снег, F_c – сила сопротивления воздуха. Поскольку, по условию задачи, лыжник движется поступательно, его можно принять за материальную точку и считать, что точки приложения всех перечисленных сил совпадают.
   В проекции на координатную ось, направленную вниз по склону, уравнение движения лыжника имеет вид:

ma = mgsinα − F_mp − F_c,
где a – ускорение лыжника,
F_mp = μN = μmgcosα, F_c = kv².
Ясно, что при движении под действием двух постоянных сил (проекции силы тяжести и силы сухого трения) и зависящей от скорости силы сопротивления воздуха, ускорение лыжника по мере разгона уменьшается и при некоторой скорости обращается в нуль. Это и есть максимальная скорость лыжника на данном отрезке трассы, поскольку его дальнейшее движение будет равномерным. Таким образом, при установившемся движении лыжника
mgsinα − μmgcosα − kv_max² = 0.
   Отсюда, после элементарных преобразований, получаем формулу:
v_max = √{mg(sinα − μcosα)/k}.
   Вычислим искомую скорость
v_max = √{70•10(sin45° − 0,1•cos45°)/0,9} ≈ 22,25 м/с.
   Ответ: v_max ≈ 22,25 м/с.

• Следующая задача.