Партнеры
Вход в систему
Яндекс.Метрика
on-line
Сейчас на сайте 0 пользователей и 10 гостей.

Размерности физических величин и анализ размерностей. Метод размерностей.

 Когда мы говорим о размерности величины, мы имеем в виду основные единицы или основные величины, с помощью которых можно построить данную величину.
 Размерность площади, например, всегда равна квадрату длины (сокращенно [L2]; квадратные скобки здесь и далее обозначают размерность); единицами измерения площади могут быть квадратный метр, квадратный сантиметр, квадратный фут и т.п.
 Скорость же может измеряться в единицах км/ч, м/с и миль/ч, но размерность ее всегда равна размерности длины [L], деленной на размерность времени [Т], т. е. мы имеем [L/T]. Формулы, описывающие величину, в разных случаях могут быть различны, но размерность сохраняется той же самой. Например, площадь треугольника с основанием b и высотой h равна S = (1/2)bh, а площадь круга радиусом r равна S = πr2. Эти формулы отличаются друг от друга, но размерности в обоих случаях совпадают и равны [L2].
 При определении размерности величины обычно пользуются размерностями основных, а не производных величин. Например, сила, как мы увидим ниже, имеет размерность массы [М], умноженной на ускорение [L/T2] т.е. ее размерность равна [ML/T2].
 Правило подбора размерностей может помочь при выводе различных соотношений; такая процедура называется анализом размерностей. Один из полезных методов − это применение анализа размерностей для проверки правильности того или иного соотношения. В этом случае используются два простых правила. Во-первых, складывать или вычитать можно величины только одинаковой размерности (нельзя складывать сантиметры и граммы); во-вторых, величины, стоящие в обеих частях любого равенства, должны иметь одинаковые размерности.
 Пусть, например, получено выражение v = vo + (1/2)at2, где v − скорость тела по прошествии времени t, vo − начальная скорость тела, а − испытываемое им ускорение. Для проверки правильности этой формулы произведем анализ размерностей. Запишем равенство для размерности, учитывая, что скорость имеет размерность [L/Т], а ускорение - размерность [L/Т2]:


 В этой формуле с размерностью не все в порядке; в правой части равенства стоит сумма величин, размерности которых не совпадают. Отсюда можно сделать вывод о том, что при выводе исходного выражения была допущена ошибка.
 Совпадение размерности в обеих частях еще не доказывает правильности выражения в целом. Например, может быть неверным безразмерный числовой множитель вида 1/2 или . Поэтому проверка размерности может указать только на ошибочность выражения, но не может служить доказательством его правильности.
 Анализ размерностей можно также использовать как быструю проверку правильности соотношения, в котором вы не уверены. Предположим, вы не можете вспомнить выражение для периода Т (времени, необходимого для совершения полного колебания) простого математического маятника длиной l: то ли эта формула выглядит как

то ли

где g − ускорение свободного падения, размерность которого, как и у любого ускорения, равна [L/Т2].
 Нас будет только интересовать, входят ли в нее величины l и g в виде отношения l/g или g/l.) Анализ размерностей показывает, что верна первая формула:

в то время как вторая ошибочна, поскольку

 Обратите внимание на то, что постоянный множитель является безразмерным и не входит в окончательный результат.
 Наконец, важное применение анализа размерностей (которое, впрочем, требует большой осторожности) − это нахождение вида искомого соотношения. Такая необходимость может возникнуть, если требуется определить лишь то, как одна величина зависит от других.
 Рассмотрим конкретный пример получения формулы для периода Т колебаний математического маятника. Сначала определим, от каких величин может зависеть Т. Период может зависеть от длины нити l, масса на конце маятника m, угла отклонения маятника α и ускорение свободного падения g. Он может также зависеть от сопротивления воздуха (мы будем использовать здесь вязкость воздуха), силы гравитационного притяжения Луны и т.д. Однако повседневный опыт указывает на то, что сила притяжения к Земле значительно превышает все остальные силы, которыми поэтому мы пренебрежем. Предположим, что период Т является функцией величин l, m, α и g, причем каждая из этих величин возведена в некоторую степень:

здесь С − безразмерная постоянная; α, β, и δ − показатели степени, которые нужно определить.
Запишем формулу размерности для этого соотношения:

После некоторых упрощений мы получаем

 В силу того что семь основных величин системы СИ (Система Интернациональная) − международная система единиц, вариант метрической системы используемый с 1960 г., когда на XI Генеральной конференции по мерам и весам был принят стандарт, который впервые получил название «Международная система единиц (СИ)». СИ является наиболее широко используемой системой единиц в мире, как в повседневной жизни, так и в науке и технике
Основные единицы СИ, названия единиц СИ пишутся со строчной буквы, после обозначений единиц СИ точка не ставится.


Величина русское название международное название русское международное
Длина метр metre (meter) м m
Масса килограмм kilogram кг kg
Время секунда second с s
Сила тока ампер ampere А A
температура кельвин kelvin К K
Сила света кандела candela кд cd
Количество вещества моль mole моль mol


являются независимыми, для согласования размерностей в обеих частях равенства необходимо положить
1 = −2δ,
0 = α + δ,
0 = β.
 Решая эти уравнения, получаем
δ = −1/2, α = 1/2, β = 0.

 Таким образом, искомое соотношение имеет вид

где f(α) − некоторая функция угла α, которую нельзя определить с помощью рассматриваемого нами метода.
 Этот метод не позволяет определить безразмерную постоянную С. Для того чтобы найти значение С (оно оказывается равным ) и вид функции f (f ≈ 1 для малых α), необходимо проделать такой анализ, основанный на законах Ньютона.
 Покажем теперь, что нам удалось получить только с помощью анализа размерностей, т. е. согласования размерностей в левой и правой частях соотношения. Мы определили вид выражения, которое связывает период математического маятника с основными параметрами этой задачи, а именно с величинами l и g.
 Как нам это удалось? И сколь полезным является этот метод? По существу, с помощью физической интуиции мы определили, какие физические величины (параметры) в этой задаче существенны, а какие нет.  Это не всегда легко сделать, и нередко приходится прилагать много усилий.
 Что же касается полезности, то конечный результат в нашем примере можно получить на основе законов Ньютона. Но во многих физических ситуациях бывает так, что с помощью законов нельзя получить сразу результаты. В этих случаях анализ размерностей может оказаться мощным средством.
 Заметим, что любое выражение, полученное из анализа размерностей (или другим подходящим способом) должно быть проверено экспериментально.
 Например, при выводе выражения периода колебания математического маятника мы можем сравнить периоды колебаний двух маятников разной длины l1 и l2, у которых угол отклонения один и тот же. Используя формулу периода колебания математического маятника, можно написать

 Так как С и f(α) одинаковы для обоих маятников, они сократились; то, что отношение периодов колебаний маятников равно квадратному корню из отношений их длин, может быть проверено экспериментально. Сравнение с экспериментом подтвердит, хотя бы частично, наши вычисления; С и f(α) могут быть определены с помощью дальнейших экспериментов.

Решите следующие задачи, воспользовавшись методом размерностей.

Задача 1. На цилиндрический столб намотан канат. За один из концов каната тянут с силой F. Для того чтобы канат не скользил по столбу, когда на столб намотан лишь один виток, второй конец удерживают с силой f. С какой силой нужно удерживать этот конец каната, если выбрать столб вдвое большего радиуса. Считайте, что сила f не зависит от толщины каната. [читайте и разбирайте задачу о трении намотанного каната]

Задача 2. Оцените силу сопротивления тел, движущихся в жидкости.

Задача 3. Определите энергию взаимодействия двух точечных масс m1 и m2, находящихся на расстоянии r друг от друга.

Задача 4. Определите силу взаимодействия двух точечных зарядов q1 и q2, находящихся на расстоянии r друг от друга.

Задача 5. Определите напряженность гравитационного поля бесконечного цилиндра радиусом ro и плотностью ρ на расстоянии R (R > ro) от оси цилиндра.

Задача 6. Оценить дальность полета и высоту тела, брошенного под углом α к горизонту. Сопротивлением воздуха пренебречь.

Вывод:
1. Метод размерностей может быть использован в случае, если искомая величина может быть представлена в виде степенной функции.
2. Метод размерностей позволяет качественно решить задачу и получить ответ с точностью до коэффициента.
3. В некоторых случаях метод размерностей является единственным способом решить задачу и хотя бы оценить ответ.
4. Анализ размерностей при решении задачи широко используется в научных исследованиях.
5. Решение задач методом размерностей является дополнительным или вспомогательным методом, позволяющим лучше понять взаимодействие величин, их влияние друг на друга.


 Читайте еще статьи из практикума абитуриента.
Система физических единиц. Метод анализа размерности.