Партнеры
Вход в систему
Яндекс.Метрика
on-line
Сейчас на сайте 0 пользователей и 16 гостей.

Давление электрического поля

 Разберемся с механизмом возникновения давления электростатического поля на заряженную поверхность, которое возникает в том случае, если напряженности полей по разные стороны этой поверхности различны.
 Рассмотрим простой случай − заряженный плоский конденсатор. Напряженность поля внутри конденсатора равна

E = σ/εo,

где σ = q/S − поверхностная плотность заряда.
 При вычислении силы, действующей на единицу площади одной из пластин, надо учитывать только поле другой пластины, равное Е/2 (сама на себя пластина не действует):
p = F/S = (E/2)σ = εoE2/2.

Анализ полученного результата.
Во-первых, давление выражается через напряженность поля, существующего с одной стороны от пластины (поле вне конденсатора пренебрежимо мало).
Во-вторых, сила, действующая на пластину, направлена внутрь конденсатора − пластины притягиваются. Это значит, что если мы хотим приписать электрическому полю давление, то мы должны считать это давление отрицательным (поле не «давит», а «тянет»!).
В-третьих, давление поля совпадает по величине с объемной плотностью электрического поля.  В итоге можно написать
p = −w = −W/V = −εoE2/2. (1)

 Перечисленные свойства становятся вполне естественными, если посмотреть на них с точки зрения закона сохранения энергии.
 Рассмотрим изолированный (отключенный от источника) плоский конденсатор. Прикладывая внешнюю силу, медленно увеличим расстояние между пластинами на Δх. Поскольку напряженность поля между пластинами не изменится (она зависит только от σ), энергия поля увеличится на wSΔx. Следовательно, внешняя сила должна совершить положительную работу FΔx, а сила давления поля − отрицательную работу −pSΔx. Таким образом, давление поля должно быть отрицательным и равным объемной плотности энергии.
 Формула (1) действует и в случае заряженной поверхности любой формы, если напряженность поля по одну сторону от нее равна нулю.
 Важный пример: на участок поверхности проводника площадью ΔS, возле которого напряженность поля равна Е, действует наружу сила, равная
ΔF = (εoE2/2)ΔS.

 Не останавливаясь на обосновании этого утверждения, обсудим сразу общую формулировку: если по одну сторону от заряженной поверхности напряженность поля равна Е1, а по другую Е2, то в направлении от первой области ко второй действует сила, обусловленная давлением
p = εoE22/2 − εoE12/2. (2)

 Эту формулу можно обосновать тремя способами.
Самый простой и естественный − энергетический. Надо мысленно сместить поверхность на Δх и приравнять работу внешней силы к изменению энергии поля. (Работа силы давления со стороны поля равна работе внешней силы, взятой с противоположным знаком.)
Можно, как и в случае плоского конденсатора, отделить собственное поле от внешнего (рис.).

Будем считать, что оба поля перпендикулярны к заряженной поверхности; действительно, касательная составляющая поля (если она есть) имеет одно и то же значение по обе стороны поверхности (это утверждение следует из потенциальности поля − подумайте сами, каким образом) и сокращается в формуле для давления. Для собственного поля Есоб. и внешнего поля Eвн получим соотношения
E1 = Eвн − Eсоб, E2 = Eвн + Eсоб.

 Собственное поле вблизи поверхности неотличимо от поля плоскости, т.е.
Есоб = σ/(2ε).

Выражая из этих уравнений Евн и σ:
Eвн = (E1 + E2)/2, σ = ε(E2 − E1), (3)

найдем давление:
p = σEвн

и получим формулу (2).
 Чтобы почувствовать, что давление определяется именно полным полем, а разделение поля на внешнее и собственное является только искусственным приемом, рассмотрим силу, действующую на тонкий слой объемного заряда (рис.).

Внутри слоя напряженность плавно меняется от Е1 на одной поверхности до Е2 на другой. Если объемная плотность заряда ρ постоянна, то напряженность поля меняется линейно и сила, действующая на площадку площадью S, выражается через среднюю напряженность поля:
F = σS(E1 + E2)/2 = εo(E2 − E1)S(E1 + E2)/2 = (εoE22/2 − εoE12/2)S,

где σ = ρa − заряд единицы поверхности слоя.
Связь между σ, E1 и Е2 можно получить с помощью теоремы Гаусса или же рассуждениями с внешним и собственным полями, приведшими к формуле (3).
 При произвольной зависимости ρ(х) поступим следующим образом. Разделим слой на много тонких слоев толщиной dx и просуммируем силы, действующие на эти слои (рис.):

F = 0a∫E(x)ρ(x)Sdx.

Изменение напряженности на очередном слое равно (для доказательства используйте теорему Гаусса; см. также формулу (3))
dE = ρdx/εo.

Для давления получаем
p = F/S = 12∫EεdE = εoE22/2 − εoE12/2.

 Отметим важную особенность: в случае объемного заряда не надо выделять собственное поле. Причина в том, что при уменьшении толщины слоя его собственное поле стремится к нулю.


Смотрите еще:
Практикум абитуриента, школьника, олимпиадника.
«Проводники и диэлектрики», метод изображений.
Подготовка олимпиадника.
Подготовка абитуриента.