Сборник ВУЗ. Статика и гидростатика. 4. НГУ

Статика и гидростатика. 4. НГУ

21. В цилиндрическом сосуде радиуса R, наполненном жидкостью плотности r до высоты h, возле дна в боковой стенке имеется отверстие, заткнутое пробкой. Какую работу нужно совершить, чтобы вдвинуть пробку в сосуд на длину l? Пробка имеет форму цилиндра радиуса r, длиной больше l. Трение не учитывать. Сосуд достаточно высок, так что вода из него не выливается.

22. В цилиндр радиуса R, частично заполненный водой, падает цилиндрическая пробка радиуса r и высоты h (рис.). Начальная высота нижнего торца пробки над уровнем воды H; начальная скорость равна нулю. Сколько энергии выделится в виде тепла после того, как движение пробки и воды прекратится? Плотность пробки ρ, плотность воды ρo. ускорение свободного падения g.

23. В U-образной трубке с соприкасающимися внутренними стенками в равновесии находятся жидкости с плотностями ρ1 и ρ21 < ρ2) так, что граница раздела проходит точно через низ трубки (рис.). На высоте a от нижней точки трубки появилось небольшое отверстие, и началось перетекание жидкости. Насколько изменится уровень в колене с жидкостью ρ2, когда перетекание жидкости прекратится? Трубку считать достаточно тонкой для того, чтобы не происходило перемешивания жидкостей, (возможен только разрыв столба жидкости в месте появления отверстия).

24. В прямоугольный очень высокий сосуд налита жидкость плотности r. В одной из стенок у дна сосуда имеется прямоугольное отверстие высоты h. куда вдвинута на расстояние l невесомая пробка того же сечения (рис.). Между пробкой и дном сосуда жидкость не проникает. Коэффициент трения пробки о дно сосуда равен k. Трение пробки о края сосуде пренебрежимо мало. При каком уровне жидкости над пробкой жидкость не сможет вытолкнуть пробку? Атмосферное давление p.

25. В замкнутом сосуде, частично заполненном водой, плавает игрушка – «водолаз». В сосуд вставлена трубка. Если о трубку подуть, «водолаз» тонет. При освобождении трубки возникает два варианта: иногда «водолаз» всплывает, а иногда так и остается под водой. Объяснить поведение игрушки.

26. В вертикальную стенку вбиты два гвоздя A и B, на которые сверху опирается стоящий у стены обруч веса P с центром в точке O. Найти силы, действующие на каждый из гвоздей, если радиусы OA и OB составляют с вертикалью углы a и b соответственно. Трение отсутствует.

27. На дне моря (глубина Н) стоит бак (куб с ребром h), заполненный водой. Какую минимальную работу A надо совершить, чтобы выкачать воду из бака? Плотность воды r. Ускорение свободного падения g.

28. Концы нерастяжимой невесомой нити длины L закреплены в точках A к B, находящихся на разных уровнях, как показано на рисунке. На нить надета тяжелая бусинка С. Пренебрегая размером бусинки и трением, найти расстояние от точки А до вертикали, проходящей через бусинку.

29. Цилиндр радиуса R, лежащий на подставке, разрезан пополам по вертикальной плоскости, проходящей через его ось (рис.). Вес каждой половины цилиндра P, а центры тяжести находятся на расстоянии a от оси цилиндра. Чтобы цилиндр не распался, через него перекинули нить с одинаковыми грузами на концах. Трение пренебрежимо мало. Найти минимальный вес грузов, не допускающий распада.

30. Сосуд заполнен двумя несмешивающимися жидкостями с плотностями ρ1 и ρ2. На границе раздела жидкостей плавает куб с длиной ребра l. Найти глубину погружения куба в жидкость с плотностью ρ2. Плотность куба ρ (ρ2 > ρ > ρ1).

31. Половник с тяжелой жидкостью аккуратно подвесили за конец ручки. Черпалка половника – полусфера радиуса R, а ручка, касательная к полусфере, имеет длину l (рис.). Пренебрегая весам половника, найти, какой объем жидкости останется в половнике.

32. В вертикальной трубе радиуса R, заполненной жидкостью плотности ρo, находится цилиндр радиуса r и длины l, причем l  >> R (рис.). Плотность цилиндра ρ. Пренебрегая влиянием концов цилиндра, определить скорость и ускорение в зависимости от пройденного цилиндром расстояния h, если в начальный момент цилиндр покоился. Ускорение силы тяжести g. Тепловыми потерями пренебречь.

33. С какой силой давит на стенку цилиндрического стакана палочка массы m, наполовину погруженная в воду? Угол наклона палочки к горизонту a, трения нет.

34. В U-образной трубке с воздухом на одинаковой высоте h удерживают два поршня массой m каждый (рис.). Сечение левого колена 2S. правого и нижнего S. Длина нижнего колена 3h. Давление воздуха внутри трубки равно атмосферному давлению po. В некоторый момент поршни отпускают. Найти установившиеся высоты поршней. (Температура газа в начале и в конце одна и та же, поршни могут перемешаться только по вертикальным участкам.)

35. Цилиндрический сосуд высотой l наполнен сжимаемой жидкостью, плотность которой r меняется с глубиной h по закону $\rho = \rho_0 (1 + \alpha h)$. Каким должен быть коэффициент a, чтобы этой жидкостью можно было наполнить три одинаковых сосуда высотой l/2 с сечением, равным сечению исходного сосуда?

36. Оценить давление в центре Земли.

37. Два гладких шарика массой m и M подвешены к одной и той же точке O, как показано на рисунке. Радиус большого шарика равен R; длина нити, его удерживающей, равна l. Какой угол a эта нить образует с вертикалью?

38. Оценить давление шариковой ручки на бумагу.

39. Оценить выталкивающую силу, действующую на вас со стороны воздуха в аудитории.

40. Оцените максимальный радиус полости, образующейся при подводном взрыве на глубине h = 1 км заряда взрывчатого вещества массой m = 1 т. Энергия взрыва 1 грамма взрывчатого вещества равна примерно l = 4 кДж.

41. Однородный стержень массой m одним концом опирается на горизонтальную, другим – на наклонную плоскости (рис.). Угол между плоскостями равен a. Какую силу F, направленную вдоль наклонной плоскости, надо приложить к стержню, чтобы он находился в равновесии? Трения нет.

42. Оцените время вытекания воды из заполненной ванны.

43. Шар лежит в щели ABC (рис.), образованной двумя плоскими стенками, причем ребро щели горизонтально. Определите угол между плоскостями, если сила давления шара на вертикальную стенку BC вдвое превышает вес. Трение не учитывать.

44. Оцените наибольшее давление в полной цистерне для поливания улиц при ее торможении. При скорости v ~ 30 км/ч тормозной путь цистерны оказался равным s ~ 5 м.

45. Оцените размеры дирижабля грузоподъемностью 100 тонн, заполненного гелием.

46. Два шара лежат в сосуде так, как показано на рисунке 3. Радиус нижнего шара в два раза больше, чем верхнего. Если в сосуд налить воду плотностью rо до середины верхнего шара, то нижний перестанет давить на дно. Найдите плотность материала, из которого изготовлены шары. Трением о боковые стенки пренебречь.

47. Оцените, во сколько раз масса океана превосходит массу воздушной оболочки Земли.

48. Две пружины с одинаковой жесткостью k закреплены в вершине O угла, образованного горизонтальным полом и вертикальной стенкой (рис.). Противоположные концы пружин прикреплены к центрам двух малых тел, массой m каждое, соединенных невесомым стержнем. Вначале пружины не деформированы и имеют длину l. С какой горизонтальной силой необходимо удерживать нижнее тело, чтобы расстояние от него до точки O было в два раза меньше, чем у верхнего? Стрежень с массами может двигаться только в вертикальной плоскости. Трения нет.

49. Открытый сверху бак, имеющий форму прямоугольного параллелепипеда высотой H, заполнен водой до половины. Одна из стенок бака является поршнем. Передвигая поршень, поднимают уровень воды до верха бака. Найти величину минимальной работы, которая требуется для этого, если масса воды равна m. Трением между поршнем и дном бака пренебречь.

50. В вертикально стоящем цилиндре сечением S на поверхности жидкости плотности r удерживают поршень массы m с открытой длинной трубкой сечением O. Поршень отпускают. Какое количество теплоты выделится по окончанию движения поршня? Ускорение свободного падения g.

51. Один конец натянутого растяжимого троса закреплен на застрявшем автомобиле, другой привязан к прочному дереву. Расстояние между деревом и автомобилем L = 20 м. Трос медленно потянули за середину  перпендикулярно его начальной ориентации и сместили середину троса на расстояние l = 0,1 м. В этот момент сила, приложенная к тросу, равна F. Во сколько раз эта сила меньше силы, действующей на автомобиль?

52. Сосуд с жидкостью плотности r закрыт двумя подвижными поршнями с площадью S1 и S2. Площадь основания равна S1 + S2, как показано на рисунке. Какую работу надо совершить, чтобы вдавить поршень 2 внутрь жидкости? Массой поршней и толщиной первого поршня пренебречь. Толщина второго поршня равна h.

53. В узкой пробирке длины L и сечения S находится тяжелый шарик, так что пробирка погружена наполовину в жидкость плотности r и касается дна, как показано на рисунке. Найти массу пустой пробирки.

54. Деревянный стержень подвешен на нити над сосудом с водой. При подъеме сосуда стержень погружается в воду сначала вертикально, затем наклоняется, а при дальнейшем подъеме остается горизонтальным. Объясните демонстрируемое явление.

55. Два груза с массами m1 и m2  соединены невесомой пружиной. Если груз 2 положить на опору, оставив груз 1 висеть над ним, то пружина сожмется до длины L. Если же придержать груз 1, заставив груз 2 висеть на пружине, то она растянется до длины L2. Какова длина пружины в ненапряженном состоянии?

56. Эквилибрист стоит на доске, лежащей горизонтально на футбольном мяче. Оценить, насколько сожмется мяч под весом эквилибриста. Избыточное давление в мяче равно атмосферному.

57. Оцените, на какую высоту может бить фонтан, если давление воды в подводящей трубе составляет 1,5 атмосферы.

58. Жидкий раствор бетона налили в кузов самосвала доверху. Оцените, какая доля раствора останется в кузове после резкого торможения.

59. В водоем опущена труба сечения S, перекрытая легким поршнем, лежащим на воде. Груз массой m с помощью нити, перекинутой через блок, поднимает поршень вверх. Найти высоту поднятия поршня x в положении равновесия. Плотность воды r, ускорение свободного падения g.

60. В водоем опущены две трубы сечений S1, и S2, перекрытых легкими поршнями, лежащим на воде. Поршни соединены нитью, перекинутой через блок. В начальном состоянии нить не провисает. Блок медленно поднимают вверх на высоту h. Найти, на какую высоту поднимется каждый поршень.

61. Две соосных трубы, площади сечения которых S и 2S, перекрыты невесомыми поршнями, соединенными между собой невесомым жестким стержнем. Вначале давление внутри и снаружи po, а длины перекрытых участков равны h. Найти максимальную массу m груза, которая может удерживаться, будучи подвешенной к нижнему поршню. Ускорение свободного падения g. Температуру считать постоянной, трения нет.

62. Пустую алюминиевую банку из-под напитка, к ключу которой прикреплен груз, наполняют холодной водой. Затем стеклянный сосуд наполняют горячей водой и опрокидывают туда банку вверх дном. Банка тонет, но через некоторое время всплывает. Объяснить результат эксперимента.

63. На катушку намотана нить. Прочность нити достаточна, чтобы выдержать вес катушки. Однако нить рвется, когда она удерживает катушку на наклонной плоскости (по которой катушка не проскальзывает) при некотором угле наклона. Объяснить результат эксперимента.

64. На наклонной плоскости находятся два соединённых невесомой нитью тела с массами т1 и т2 (см. рис.). Коэффициенты трения между телами и наклонной плоскостью равны m1 и m2, соответственно, причём у верхнего коэффициент трения больше чем у нижнего m1 < m2. При каком наибольшем угле наклона тела ещё не начнут соскальзывать с наклонной плоскости?

65. Сосуд со сливным отверстием вблизи дна заполняется водой. Из отверстия начинает бить струя воды, вначале попадающая в горловину колбы. По мере вытекания струя перестаёт попадать в горловину и колба остаётся незаполненной (см рис.). Если сосуд, заполненный водой, закрыть пробкой с трубкой, открытой сверху и погруженной снизу в воду, то струя не уходит от горловины и наполняет колбу доверху (см. рис.). Объясните демонстрируемое явление.

66. Толстостенный цилиндр с внутренним радиусом r и внешним R плавает вертикально, при этом уровень воды в нём на h выше уровня воды снаружи. В тонком дне цилиндра образуется отверстие и цилиндр медленно всплывает не меняя ориентации. Найдите на сколько цилиндр сместится по вертикали? Ускорение свободного падения g.

67. Деревянный шар объёма V привязан нитью к дну сосуда цилиндрической формы с сечением S и полностью погружён в воду. Когда нить перерезают, шар всплывает, а уровень воды в сосуде опускается на h. Какова масса шара? Плотность воды r.

68. Стальную пластинку погружают плашмя в воду в глубоком озере и отпускают. Оцените, во сколько раз возрастёт разница давлений на нижнюю и верхнюю стороны пластинки на большой глубине по сравнению с начальным моментом движения.

69. Пробирка массой m и сечением S плавает вертикально в воде так, что верхний конец пробирки выше уровня воды на ho. Когда пробирку опустили в неизвестную жидкость, она плавает так, что ее верхний конец выше уровня жидкости на h. Какова плотность жидкости r, если плотность воды ro?

70. Представьте, что вы плывете на лодке, в дне которой появилась пробоина. Оцените, при какой ее площади вы будете успевать отчерпывать набирающуюся воду литровой банкой.

71. Поплавки, один с воткнутым сверху тонким стержнем, второй – с толстым, плавают в солевом растворе, как показано на рисунке. Если их опустить в пресную воду, то первый поплавок погружается почти на всю длину стержня, а второй остается практически на прежнем уровне погружения. Объясните наблюдаемое явление.

72. Две дощечки подвешены на проволочках, прикрепленных к стержню. Одна дощечка частично погружена в воду, другая лежит на подставке. При медленном подъеме стержня обе дощечки поднимаются. Когда стержень резко дергают вверх, то за ним поднимается лишь дощечка, лежащая на подставке, а проволочка, привязанная к дощечке, частично погруженной в воду, обрывается. Объясните демонстрируемое явление.

73. Цилиндр радиусом R и массой M соприкасается с дном и боковой стенкой наклонной прямоугольной коробки (рис.). Второй цилиндр меньшего радиуса r и массой m соприкасается с первым цилиндром и дном коробки. Найдите отношение масс М/т, если при угле наклона дна с горизонталью a первый цилиндр начинает подниматься. Трение между цилиндрами, стенкой и дном коробки отсутствует.