Сборник ВУЗ. Динамика. 8. МФТИ

Динамика. 8. МФТИ

157. Маховик радиуса R насажен на неподвижную ось радиуса r. Сила трения между маховиком и осью постоянна и равна 100 Н. Для того чтобы легче было снять маховик с оси, к его ободу прикладывается сила F, создающая вращающий момент относительно оси (рис.). С какой минимальной силой N нужно при этом тянуть маховик вдоль оси, чтобы снять его?

158. Самолет садится на палубу авианосца, имея скорость v = 108 км/час. Зацепившись за канат торможения, он пробегает путь S = 30 м до полной остановки. Определить максимальный вес пилота при посадке (перегрузку) считая, что коэффициент упругости каната не изменяется по мере его растяжения. Масса пилота m = 70 кг.

159. При скоростном спуске лыжник шел вниз по склону $\phi$ = 45о, не отталкиваясь палками. Коэффициент трения лыж о снег k = 0,1. Сопротивление воздуха пропорционально квадрату скорости: $F_C = \alpha v^2$, где $\alpha$ – постоянная величина, равная 0,7 Н/(м/с2). Какую максимальную скорость мог развить лыжник, если его масса = 90 кг?

160. Космонавты, высадившиеся на Луну должны возвратиться на базовый космический корабль, который летает по круговой орбите на высоте, равной радиусу Луны RЛ = 1740 км. Какую начальную скорость v на поверхности Луны необходимо сообщить лунной кабине, чтобы стыковка с базовым кораблем стала возможной без дополнительной коррекции величины скорости кабины? Ускорение свободного падения на поверхности Луны g = l,7 м/с2.

Примечание. Потенциальная энергия тела массы m, удаленного на расстояние r от центра планеты с массой M определяется соотношением $W = -G\frac{mM}{r}$, где G – гравитационная постоянная.

161. В системе, изображенной на рисунке, даны массы М и m. Какой величины должна быть масса mx. чтобы груз массы m был неподвижен относительно точки A подвеса всей системы? Трение не учитывать, блоки и нити невесомые.

162. Груз весом P = 1 H опускается с помощью лебедки с постоянной скоростью v = 4 м/с (рис.). Какова будет максимальная сила натяжения троса при внезапной остановке лебедки, если коэффициент упругости троса равен k = 0,5 Н/см Весом тросам трением пренебречь.

163. В большом городе автомобиль вынужден часто останавливаться у светофоров. Например, такси в Москве на каждые 100 км пробега совершает до 50 остановок. Допустим, что после каждой остановки такси развивает скорость v = 72 км/час. Сопротивление движению автомобиля при этом мало зависит от скорости и равно F = 300 H. Во сколько раз расход бензина в г. Москве больше, чем на загородном маршруте, где остановки практически отсутствуют? Масса такси M = 1,5 т, а КПД двигателя не зависит от скорости.

164. На какое максимальное расстояние от Солнца удаляется комета Галилея? Период обращения ее вокруг Солнца равен 76 годам; минимальное расстояние, на котором она проходит от Солнца, равно 1,8×108 км. Радиус орбиты Земли равен 1,5×108 км.

165. Один из спутников Юпитера движется по орбите радиусом R1 = 4,22·105 км и совершает полный оборот за T1 = l,77 дня. Во сколько раз масса Юпитера больше массы Земли? Известно, что Луна движется по орбите радиуса R2 = 3,8·105 км с периодом T2 = 27,3 дня.

166. Чтобы пассажиры самолетов не испытывали неприятных ощущений, их вес в полете не должен увеличиваться более, чем вдвое. Какое максимальное ускорение в горизонтальном полете допускает это условие?

167. Длина взлетной полосы самолета L = 1 км, скорость при взлете v = 200 км/ч. Какую перегрузку испытывает пассажир в этом самолете, если разгон происходит равномерно?

168.Человек скатывается на санях под уклон, составляющий угол $\alpha$ = 6° с горизонтом. Масса саней М в два раза больше массы человека m. Коэффициент трения саней о поверхность склона $\mu$ = 0,2. Как должен двигаться человек относительно саней, чтобы сани двигались под уклон равномерно?

169. Человек скатывается на санях под уклон, составляющий угол $\alpha$ = 30° с горизонтом. Масса человека M в два раза больше массы саней m, коэффициент трения саней о поверхность склона равен $\mu$ = 0,3. Как должен двигаться человек относительно саней, чтобы сани двигались под уклон равномерно?

170. Изогнутая трубка длины L = 1 м вращается вокруг вертикальной оси OO/ с угловой скоростью w = 0,1 рад/с (см. рис.). Открытый конец трубки направлен вертикально вниз, и из него вытекает вода практически без начальной скорости относительно трубки. На расстоянии H = 10 м ниже отверстия расположена горизонтальная плоскость. Найти радиус окружности, которую опишет след струи воды на этой плоскости.

171. На покоящееся тело массы m = 5 кг начинает действовать сила F, величина которой убывает со временем по линейному закону до 0, как показано на рисунке. Какую скорость приобретает тело?

172. С какой максимальной скоростью может проехать мотоцикл по закруглению дороги радиуса R = 80 м, если коэффициент трения между шинами мотоцикла и асфальтом равен $\mu$ = 0,5?

173. Автомобиль массы m = 2·103 кг, который двигался со скоростью vo = 90 км/ч, в момент времени t = 0 начинает тормозиться силой F, величина которой нарастает со временем по линейному закону, как показано на рис. Через сколько времени автомобиль остановится?

174. Горизонтальный диск радиуса R = 10 м вращается вокруг своей оси, делая 2 об/мин. Вдоль края диска навстречу вращению едет мотоциклист со скоростью v = 30 км/ч относительно диска. Каким должен быть коэффициент трения между шинами мотоцикла и диском, чтобы мотоцикл не соскальзывал с диска?

175. Горизонтальный диск радиуса R = 10 м вращается вокруг своей оси, делая 2 об/мин. Вдоль края диска навстречу вращению едет мотоцикл со скоростью v = 30 км/ч относительно диска. Каким должен быть коэффициент трения между шинами мотоцикла и диском, чтобы мотоцикл не соскальзывал с диска?

176. Однородную балку длины l и массы m перевозят на двух санях (рис.). С какой силой F надо тянуть за веревку, чтобы сани двигались равномерно? Веревка наткнута горизонтально и привязана па высоте h от земли. Коэффициент трения передних саней о дорогу равен $\mu_1$, задних – $\mu_2$.

177. Два бруска массой M = 100 г каждый, связанные нитью, соскальзывают с наклонной плоскости с углом $\alpha$ = 30°. Коэффициент трения нижнего бруска о плоскость $\mu_1$ = 0,2, верхнего – $\mu_2$ = 0,5. Определить натяжение нити.

178. При какой продолжительности суток тела на экваторе Земли весили бы в два раза меньше, чем на полюсе? Радиус Земли R = 6400 км.

179. С какой минимальной горизонтальной силой F надо действовать на брусок массой m = 1 кг, находящийся на наклонной плоскости с углом наклона $\alpha$ = 30°, чтобы брусок покоился (рис.)? Коэффициент трения бруска о наклонную плоскость $\mu$ = 0,2.

180. На дно сферы радиусом R насыпали горсть песка (рис.). Определите, где будут находиться песчинки после того, как сферу привели во вращение вокруг вертикальной оси с угловой скоростью $\omega$. Трением песчинок о сферу пренебречь.

181. Собака C бежит с постоянной скоростью vo по тропинке АВ, составляющей угол $\alpha$ = 60° с горизонтально натянутой проволокой MN (рис.). К ошейнику собаки привязан легкий, горизонтально висящий трос длины l. Трос соединен с кольцом K массы m, которое может скользить по проволоке без трения. Найдите натяжение троса в момент, когда кольцо и собака находятся на одинаковых расстояниях от места пересечения D тропинки и проволоки.

182. Диск может вращаться вокруг вертикальной оси, перпендикулярной его плоскости (рис.). На диске на расстоянии R от оси лежит небольшой брусок массы М. На горизонтальной поверхности бруска находится шайба массы m. прикрепленная к оси нитью. Диск вместе с бруском и шайбой очень медленно увеличивает свою угловую скорость. Коэффициент трения скольжения между шайбой и бруском $\mu$. Считая трение между бруском и диском пренебрежимо малым, определите, при какой угловой скорости w брусок начнет выскальзывать из-под шайбы.

183. На гладком блоке радиусом R висит однородный гибкий канат массой m и длиной l (рис.). Найдите максимальную силу натяжения каната.

184. Арбуз взвешивают в салоне самолета на пружинных весах один раз перед взлетом, а другой – во время полета самолета вдоль меридиана. Какой должна была бы быть скорость самолета, чтобы показания весов в полете уменьшились на 1/16 по сравнению с их показаниями перед взлетом? Радиус Земли принять равным R = 6400 км. Вращением Земли вокруг своей оси и высотой полета самолета по сравнению с радиусом Земли пренебречь.

185. Космонавты, высадившиеся на поверхность Марса, измерили период вращения конического маятника (небольшое тело, прикрепленное к нити и движущееся по окружности в горизонтальной плоскости с постоянной скоростью – рис.), и он оказался равным T =3 с. Длина нити l = 1 м. Угол, составляемый нитью с вертикалью, $\alpha$ = 30°. Найдите по этим данным ускорение свободного падения на Марсе.

186. Через неподвижный блок перекинута легкая веревка, к концу которой прикреплен груз массой m = 9 кг (рис.). Для поднятия груза с поверхности земли на высоту H1 =4 м за время t = 6 с надо тянуть веревку с постоянной силой F. На какую величину потребуется увеличить силу, чтобы поднять груз с поверхности земли за то же время на высоту H2 = 6 м? Массой блока и трением в его оси пренебречь.

187. Мяч брошен под углом $\alpha_1$ = 30° к горизонту (рис.), и за время полета горизонтальная составляющая его скорости уменьшилась на 12 %. Когда мяч бросили с той же начальной скоростью под углом $\alpha_2$ к горизонту, горизонтальная составляющая его скорости за время полета уменьшилась на 20 % и мяч пролетел вдоль поверхности расстояние на 10 % большее, чем в первом случае. Под каким углом брошен мяч во втором случае? Считать, что сила сопротивления движению мяча пропорциональна его скорости.

188. Автомобиля на автодроме допытываются на скорости v = 120 км/ч. Под каким углом $\alpha$ к горизонту должно быть наклонено полотно дороги на повороте с радиусом закругления R = 110 м, чтобы движение автомобиля было наиболее безопасным даже в гололедицу (рис.)?

189. Тележка и ящик с равными массами удерживаются упором A на наклоненной под углом $\alpha$ (tg$\alpha$ = 0,4) к горизонту поверхности горки (рис.). Упор убирают, и ящик с тележкой приходят в движение. Во сколько раз при этом уменьшается сила давления тележки на ящик? Коэффициент трения скольжения между ящиком и поверхностью горки $\mu$ = 0,2. Соприкасающиеся поверхности стенок ящика и тележки считайте гладкими и расположенными перпендикулярно поверхности горки.

190. Шайба, брошенная вдоль наклонной плоскости, скользит по ней, двигаясь вверх, а затем возвращается к месту броска. График зависимости модуля скорости шайбы от времени приведен на рисунке. Найдите угол наклона плоскости к горизонту.

191. Во сколько раз отличаются минимальные периоды обращения спутников для Марса и Земли? Масса Марса составляет a = 0,11 массы Земли, а радиус – b = 0,53 радиуса Земли.

192. Груз прикрепляют к нити и подвешивают – опыт проводится в Москве. При какой продолжительности суток пить расположилась бы параллельно оси вращения Земли? Земли R = 6400 км.

193. Призма находится на горизонтальной поверхности шероховатого стола (рис.). На поверхность призмы, наклоненную пол углом $\alpha$ к горизонту, положили брусок массой m и отпустили. Он стал соскальзывать, а призма осталась в покое. Коэффициент трения скольжения между бруском и призмой m. Найдите силу трения между призмой и столом.

194. Шары с массами m1, m2 и m3, подвешены к потолку с помощью двух невесомых пружин и легкой нити (рис.). Система покоится. 1) Определите натяжение нити. 2) Определите ускорение (направление и модуль) шара массой m, сразу после пережигания нити.

195. Человеку массой m требуется подтянуть к стене ящик массой M = 3m с помощью каната, перекинутого через блок. Если человек стоит на горизонтальном полу, то для достижения цели ему надо тянуть канат с минимальной силой Fl = 600 Н. С какой минимальной силой F2 придется тянуть этому человеку канат, если он упрется в ящик ногами? Части каната, не соприкасающиеся с блоком, горизонтальны. Массами блока и каната пренебречь.

196. К концам троса, перекинутого через блок, привязаны бруски с массами m и M = 4m, находящиеся на гладкой наклонной плоскости с углом наклона $\alpha$ = 30° (см. рис.). При каком минимальном значении коэффициента трения k между брусками они будут покоиться?

197. Человек массой m, упираясь ногами в ящик массой M, подтягивает его с помощью каната, перекинутого через блок, по наклонной плоскости с углом наклона $\alpha$. С какой минимальной силой надо тянуть канат человеку, чтобы подтянуть ящик к блоку? Коэффициент трения скольжения между ящиком и наклонной плоскостью – k. Части каната, не соприкасающиеся с блоком, параллельны наклонной плоскости. Массами блока и каната пренебречь.

198. Бруски с массами m и М = 2m привязаны к концам нити, перекинутой через блок. Система находится на наклонной плоскости с углом наклона $\alpha$ = 60°. При каком минимальном значении коэффициента трения k между нижним бруском и наклонной плоскостью бруски будут покоиться? Трением между брусками пренебречь.

199. Ящик с шайбой удерживают в покое на наклонной плоскости с углом наклона к горизонту $\alpha$ = 30° (рис.). Ящик и шайбу одновременно отпускают, и ящик начинает скользить по наклонной плоскости, а шайба – по дну ящика. Через время t = 1 с шайба ударяется о нижнюю стенку ящика. Коэффициент трения скольжения между шайбой и ящиком $\mu_1$ = 0,23, а между ящиком и наклонной плоскостью $\mu_2$ = 0,27. Масса ящика вдвое больше массы шайбы. 1) Определите ускорение шайбы относительно наклонной плоскости при скольжении шайбы по ящику. 2) На каком расстоянии L от нижней стенки ящика находилась шайба до начала движения?

200. Обручу, закрученному вокруг горизонтальной оси, проходящей перпендикулярно плоскости обруча через его центр, сообщают вдоль горизонтальной поверхности стола скорость vo, направленную перпендикулярно оси вращения (рис.). Обруч сначала удаляется, а затем, из-за трения о стол, возвращается к месту начала движения со скоростью v1 = vo/4 , катясь без проскальзывания. Коэффициент трения скольжения между обручем и столом m. 1) Найдите время движения до места максимального удаления. 2) Через какое время, считая от начала движения, обруч возвратится назад?

201. Бруски массами m и 2m связаны легкой нитью, перекинутой через блок, и находятся на наклонной и горизонтальной поверхностях призмы (рис.). Угол наклона к горизонту одной из поверхностей призмы равен $\alpha$ (sin$\alpha$ = 3/5). Коэффициент трения скольжения бруска о горизонтальную поверхность равен m = 1/6, а о наклонную поверхность – 2m,. При перемещении призмы с некоторым минимальным горизонтальным ускорением а брусок массой 2m при натянутой нити начинает скользить по призме влево. Найдите отношение a/g, где g – ускорение свободного падения. Трением в оси блока пренебречь.

202. На гладкой горизонтальной поверхности стола находится клин, прислоненный к гладкой вертикальной стене (рис.). Поверхность клина наклонена к горизонту под углом $\alpha$. Автомобильное колесо массой М скатывается с клина без проскальзывания. В процессе движения колеса по клину клин действует на стену с постоянной силой F. Какой скорости достигнет колесо, пройдя по клину из состояния покоя путь S?

203. На гладкой наклонной плоскости с углом наклона $\alpha$ к горизонту колеблются вдоль прямой с амплитудой A как оно целое шайба массой m и брусок массой 3m под действием пружины жесткостью k, прикрепленной к бруску (рис.). При каком минимальном коэффициенте трения скольжения между шайбой и бруском возможны такие колебания?

204. Ровная шероховатая доска движется с постоянным горизонтальным ускорением a, сохраняя постоянный угол наклона $\alpha$ к вертикали. Доска толкает перед собой массивный брусок. Оказалось, что при a > g брусок с доской движутся вместе без проскальзывания, а при a < g брусок падает вниз. Найдите коэффициент трения $\mu$ между доской и бруском, если tg$\alpha$ = 0,2.

205. Ровная шероховатая доска движется с постоянным горизонтальным ускорением a = g, сохраняя постоянный угол наклона $\alpha$ к вертикали. Доска толкает перед собой массивный брусок. Оказалось, что при $\alpha < \alpha_0$ (tg$\alpha_0$ = 0,2) брусок с доской движутся вместе без проскальзывания, а при $\alpha > \alpha_0$ брусок падает вниз. Найдите коэффициент трения m между доской и бруском.

206. Ровная шероховатая доска движется с постоянным горизонтальным ускорением a, сохраняя постоянный угол наклона a к вертикали. Доска толкает перед собой массивный брусок. Оказалось, что при a > g брусок с доской движутся вместе без проскальзывания, а при a < g брусок падает вниз. Найдите угол $\alpha$, если коэффициент трения между доской и бруском равен $\mu$ = 1,5.

207. Ровная шероховатая доска движется с постоянным горизонтальным ускорением а, сохраняя постоянный угол наклона a к вертикали. Доска толкает перед собой брусок массой m = 1 кг. Оказалось, что при $\alpha < \alpha_0$ (tg$\alpha_0$ = 0,2) брусок с доской движутся вместе без проскальзывания, а при $\alpha > \alpha_0$ брусок падает вниз. Найдите a, если коэффициент трения между доской и бруском равен $\mu$ = 1,5.

208. Однородный канат длиной l и массой m с прикреплённым к одному концу грузом массой m/3 находятся на гладкой горизонтальной поверхности стола и вращаются с угловой скоростью $\omega$ вокруг вертикальной оси, проходящей через другой конец каната. Размер груза мал по сравнению с длиной каната.

1) Найдите силу, действующую на груз со стороны каната.

2) Найдите силу натяжения каната на расстоянии l/3 от оси вращения.

209. Шайба массой m прикреплена к концу однородной верёвки массой 2m и длиной l. Другой конец верёвки прикреплён к вертикальной оси. Шайба с веревкой вращаются вокруг оси с постоянной угловой скоростью, скользя по гладкой горизонтальной поверхности стола. Размер шайбы мал по сравнению с длиной верёвки. Скорость шайбы v.

1) Найдите силу натяжения верёвки вблизи шайбы.

2) Найдите силу натяжения верёвки на расстоянии 3l/4 от оси.

210. Однородный канат длиной l и массой m с прикреплённым к одному концу грузом массой m/4 находятся на гладкой горизонтальной поверхности стола и вращаются с угловой скоростью $\omega$ вокруг вертикальной оси, проходящей через другой конец каната. Размер груза мал по сравнению с длиной каната.

1) Найдите силу, действующую на груз со стороны каната.

2) Найдите силу натяжения каната на расстоянии l/4 от оси вращения.

211. Брусок массой m прикреплён к концу однородной верёвки массой 5m и длиной l. Другой конец верёвки прикреплён к вертикальной оси. Брусок с веревкой вращаются вокруг оси с постоянной угловой скоростью, скользя по гладкой горизонтальной поверхности стола. Размер бруска мал по сравнению с длиной верёвки. Скорость бруска v.

1) Найдите силу натяжения верёвки вблизи бруска.

2) Найдите силу натяжения верёвки на расстоянии 3l/5 от оси.

212. На достаточно длинной невесомой нити, перекинутой через блок, подвешены два груза. Грузам сообщили некоторую начальную скорость, и систему предоставили самой себе. В некоторый момент скорость левого груза массой m = 1 кг направлена вверх и равна 6 м/с. Через время t = 2 с после этого груз остановился. Определите силу натяжения нити. Ускорение свободного падения примите равным g = 10 м/с2.

213. Груз массой m = 2 кг соединён достаточно длинной невесомой перекинутой через блок нитью со вторым грузом, находящимся на закреплённой наклонной плоскости. Грузам сообщили некоторую начальную скорость, и систему предоставили самой себе. В некоторый момент скорость груза m направлена вверх и равна 8 м/с. Через время t = 2 с груз остановился. Найдите силу натяжения нити. Ускорение свободного падения примите равным g = 10 м/с2.

214. На достаточно длинной невесомой нити, перекинутой через блок, подвешены два груза. Грузам сообщили некоторую начальную скорость, и систему предоставили самой себе. В некоторый момент скорость левого груза массой m = 1 кг направлена вниз и равна 4 м/с. Через время t = 2 с после этого груз остановился. Определите силу натяжения нити. Ускорение свободного падения примите равным g = 10 м/с2.

215. Груз массой m = 2 кг соединён достаточно длинной невесомой перекинутой через блок нитью со вторым грузом, находящимся на закреплённой наклонной плоскости. Грузам сообщили некоторую начальную скорость, и систему предоставили самой себе. В некоторый момент скорость груза m направлена вниз и равна 9 м/с. Через время t = 3 с груз остановился. Найдите силу натяжения нити. Ускорение свободного падения примите равным g = 10 м/с2.

216. Дифференциальный ворот представляет собой два скреплённых соосных цилиндра радиусами R = 10 см и r = 8 см, на которые намотан трос. Трос перекинут через подвижный блок и его концы закреплены на цилиндрах. При вращении рукоятки OA длиной L = 20 см вокруг неподвижной горизонтальной оси цилиндров О трос наматывается на больший цилиндр и сматывается с меньшего, а груз, подвешенный к подвижному блоку, поднимается.

1) Найдите минимальную силу F, которую необходимо приложить к рукоятке ворота, чтобы поднимать груз массой m = 140 кг.

2) Какой скорости достигнет этот груз за t = 2 с, начав движение из состояния покоя, если силу F увеличить на 0,4 %?

Массами цилиндров, рукоятки, троса, подвижного блока и трением в осях пренебречь.

Ускорение свободного падения принять равным g = 10 м/с2.

217. Дифференциальный блок состоит из двух скреплённых между собой и насаженных на общую горизонтальную ось О барабанов с радиусами R1 = 9 см и R2 = 13 см. На барабаны намотан замкнутый трос (цепь), перекинутый через подвижный блок. В устройстве обеспечены условия непроскальзывания троса по барабанам.

1) Найдите минимальную силу F, которую необходимо приложить к тросу, чтобы поднимать груз массой m = 65 кг.

2) За какое время этот груз достигнет скорости v = 10 см/с из состояния покоя, если силу F увеличить на 0,2 %?

Массами барабанов, троса, подвижного блока и трением в осях пренебречь.

Ускорение свободного падения принять равным g = 10 м/с2.

218. Дифференциальный ворот представляет собой два скреплённых соосных цилиндра радиусами R1 = 10 см и R2 = 6 см, на которые намотан трос. Трос перекинут через подвижный блок, и его концы закреплены на цилиндрах. При вращении рукоятки ОВ длиной R = 30 см вокруг неподвижной горизонтальной оси О цилиндров трос наматывается на больший цилиндр и сматывается с меньшего, а груз, подвешенный к подвижному блоку, поднимается.

1) Какую минимальную силу F необходимо приложить к рукоятке ворота, чтобы поднимать груз массой m = 90 кг?

2) На какую высоту поднимется этот груз за время t = 1 с, начав движение из состояния покоя, если силу F увеличить на 1 %?

Массами цилиндров, рукоятки, троса, подвижного блока и трением в осях пренебречь. Ускорение свободного падения принять равным g = 10 м/с2.

219. Дифференциальный блок состоит из двух скреплённых между собой и насаженных на общую горизонтальную ось О барабанов с радиусами R = 15 см и r = 12 см. На барабаны намотан замкнутый трос (цепь), перекинутый через подвижный блок. В устройстве обеспечены условия непроскальзывания троса по барабанам.

1) Какую минимальную силу F необходимо приложить к тросу, чтобы поднимать груз массой m = 80 кг?

2) За какое время этот груз поднимется на высоту H = 24 см из состояния покоя, если силу F увеличить на 0,3 %?

Массами барабанов, троса, подвижного блока и трением в осях пренебречь. Ускорение свободного падения принять равным g = 10 м/с2.