Сборник ВУЗ. Кинематика. 9. МГУ

Кинематика. 9. МГУ

134. Парашютист покидает гондолу свободно летящего аэростата на высоте ho = 250 м. Первые h1 = 50 м он падает свободно, а затем, раскрыв парашют, опускается с постоянной скоростью vo = 4 м/с. На каком расстоянии S от места прыжка (по горизонтали) приземлится парашютист? Скорость ветра v1 = 2 м/с не зависит от высоты.

135. Ракета, запущенная в вертикальном направлении с земли, движется с постоянным ускорением 2|g| в течение t = 50 с. Затем двигатели мгновенно выключают. Определить максимальную высоту подъема ракеты. Сопротивлением воздуха пренебречь. Считать, что |g| = 10 м/с2.

136. С вышки высотою h = 10 м в горизонтальном направлении слева направо бросают камень со скоростью vo1 = 23 м/с. Одновременно с поверхности земли под углом $\alpha$ = 30° к горизонту справа налево бросают второй камень со скоростью vo2 = 20 м/с. На каком расстоянии l от основания вышки бросили второй камень, если камни столкнулись в воздухе?

137. Двигаясь равноускоренно, тело проходит за промежуток времени t1 = 4 с путь S1 = 2 м. а за следующий промежуток t2 = 5 с – путь S2 = 4 м. Определить ускорение тела.

138. Два тела одновременно начинают двигаться из одной точки в поле силы тяжести с одинаковыми по абсолютным значениям скоростями, равными vo = 2 м/с. Одна из скоростей направлена под углом $\alpha_1 = \pi /4$ , а другая – под углом $\alpha_2 = -\pi /4$ к горизонту. Определить относительную скорость этих тел через время t = 2 с после начала движения.

139. Зенитное орудие может производить выстрелы во всевозможных направлениях. Определить границу области, которая простреливается из этого орудия, если модуль начальной скорости снаряда равен vo.

140. Теннисный мяч ударяют ракеткой у самой поверхности Земли, сообщая ему начальную скорость v = 20 м/с, направленную под утлом $\alpha$ = 45° к горизонту. Мяч летит к вертикальной стене, двигаясь в плоскости, перпендикулярной к этой стене, и испытывает со стеной абсолютно упругое соударение. Стена находится от места удара на расстоянии l = 15 м. На каком расстоянии x от места удара мяч упадет на Землю? Сопротивлением воздуха пренебречь.

141. Расстояние между двумя железнодорожными станциями, равное s = 18 км, поезд проходит за время t = 20 мин. Первые t1 = 5 мин он идет равноускоренно (без начальной скорости), а затем – равнозамедленно, пока не остановится. Определите ускорение поезда на пути разгона.

142. Две ступеньки, возвышающиеся над горизонтальной плоскостью, имеют одинаковую высоту h и находятся на расстоянии L одна от другой (рис.). На краю одной ступеньки лежит маленький шарик Тело, масса которого много больше массы шарика, налетает на шарик, соударяется с ним и сталкивает его со ступеньки. Какую скорость должно иметь тело, чтобы шарик после одного подскока от горизонтальной плоскости попал на вторую ступеньку? Все соударения абсолютно упругие. Сопротивление воздуха не учитывать.

143. Зависимость модуля скорости v1 первого тела от времени t изображается дугой полуокружности АМВ (рис.). За время t1 это тело прошло тот же путь, что и второе тело, двигавшееся с постоянной скоростью v2 = 50 м/с. Найдите начальную скорость vo первого тела.

144. Два тела двигаются с постоянными скоростями по взаимно перпендикулярным прямым. Скорость первого теля v1 = 30 м/с, второго – v2 = 20 м/с. В тот момент, когда расстояние между телами наименьшее, первое тело находится на расстоянии s1 = 500 м от точки пересечения прямых. На каком расстоянии s2 от точки пересечения прямых находится в этот момент второе тело?

145. Плоский обруч движется так, что в некоторый момент времени скорости концов диаметра AB лежат в плоскости обруча и перпендикулярны этому диаметру (рис.). Скорость точки A равна vA, а скорость точки В равна vB. Определите скорости концов диаметра CD, перпендикулярного АВ, в этот же момент времени, считай, что эти скорости также лежат в плоскости обруча.

146. Двигатели ракеты, запущенной вертикально вверх о поверхности Земли, работали в течение времени t = 1 мин и сообщали ракете постоянное ускорение a = 3g. Какой максимальной высоты h достигла ракета? Ускорение свободного падения считать постоянным и равным g = 9,8 м/с2. Сопротивлением воздуха пренебречь.

147. Поезд при подходе к платформе начинает тормозить и останавливается, пройдя путь S = 75 м. Найдите начальную скорость поезда, если за предпоследнюю секунду он прошел расстояние l = 2,25 м. Движение поезда равнозамедленное.

148. Двигатель ракеты, запущенной с поверхности Земли вертикально вверх, сообщает ей постоянное ускорение a = 10 м/с2. С какой скоростью ракета упадет на Землю, если двигатель проработал t = 22 с? Сопротивление воздуха не учитывать. Ускорение свободного падения принять равным g = 10 м/с2.

149. Мотоциклист за время t = 2 с прошел первую половину тормозного пути. Считая силу торможения постоянной, найдите время, необходимое мотоциклисту для полной остановки.

150. Стержень, поперечное сечение которого показано на рисунке, движется по плоскости так, что в некоторый момент скорости его точек и параллельны плоскости и перпендикулярны оси стержня, а их величины равны vA и vB. Найти величину скорости точки C в этот момент времени, если, и все указанные точки находятся на одинаковом расстоянии от оси стержня.

151. Вдоль наклонной плоскости скользит брусок. Некоторый участок AB он проходит, двигаясь равнопеременно, со средней скоростью vo, причем в точке A его скорость на $\Delta v$ меньше, чем в точке B. Найти скорость бруска в точке C, расположенной между точками A и B и отстоящей от точки A на 1/n часть длины участка AB.

152. Стержень катится по плоскости без проскальзывания. Найдите отношение скоростей точек A и B, находящихся от оси стержня на расстоянии в n раз меньше его радиуса, в тот момент, когда они занимают положения, указанные на рисунке.

153. У мальчика, сидящего на вращающейся с угловой скоростью $\omega$ карусели на расстоянии R от ее оси, выпали из кармана с интервалом t два камушка. На каком расстоянии друг от друга ударятся о землю эти камушки, если высота, с которой они упали, равна h?

154. Катушку, лежащую на горизонтальной плоскости, тянут за намотанную на ее среднюю часть легкую нерастяжимую нить так, что ее конец A движется со скоростью v под углом $\alpha$ = 30o к горизонту (рис.). При этом катушка катится без проскальзывания, а ее ось не изменяет своей ориентации. Найдите скорость движения оси катушки, если радиус r средней части катушки в n = 2 раза меньше радиуса R ее щек.

155. Материальная точка движется прямолинейно и равноускоренно, проходя два последовательных отрезка пути l1 и l2 за времена t1 и t2 соответственно. Найдите ускорение точки.

156. Из одной точки над поверхностью земли вылетают одновременно две частицы с горизонтальными и противоположно направленными скоростями v1 = 4 м/с и v2 = 9 м/с. Через какое время угол между направлениями скоростей этих частиц станет 90o? Ускорение свободного падения g = 10 м/с2.

157. Четыре одинаковых жестких стержня длиной L каждый, концы которых шарнирно соединены, образуют ромб, диагональ которого BD больше диагонали АС (рис.). Ромб лежит на столе. В некоторый момент вершины A и C начинают двигать по столу в противоположные стороны вдоль прямой АС с одинаковыми по величине скоростями v. Найдите ускорение вершины B относительно стола в тот момент, когда ромб превращается в квадрат.

158. Дождевальная установка разбрызгивает воду, направляя водяные капли во все стороны с одинаковой скоростью. Какова площадь S орошаемого ею участка, если максимальная высота подъема капель h = 1 м? Считать, что капли воды начинают движение непосредственно от поверхности земли. Сопротивление воздуха не учитывать.

159. Скорость снаряда при вылете из ствола пушки равна vo = 500 м/с. На какой максимальной высоте h снаряд может поразить цель, если расстояние от пушки до цели по горизонтали составляет l = 1 км? Ускорение свободного падения g = 10 м/с2. Сопротивление воздуха не учитывать. При решении задачи в общем виде считать, что $v_0 = \sqrt{gl}$.

160. Равносторонний треугольник ABC (рис.) скользит по горизонтальному столу. Известно, что в некоторый момент времени точка A имеет скорость $v_1 = \sqrt{6}$ м/с, точка B имеет скорость v2 = 1,5 м/с, а скорость центра треугольника направлена параллельно стороне CB. Какова величина скорости vo центра треугольника в этот момент времени?

161. По горизонтальной плоскости скользит квадратная пластина ABCD. В некоторый момент скорости вершин A и B оказались перпендикулярными друг другу, а скорость вершины C была равна v и составила с вектором $\vec{CD}$ угол, тангенс которого равен 0,5. Найдите скорость точки М, являющейся серединой отрезка AB, в этот момент времени.

162. Узнав о готовящемся нападении неприятеля, решетку ворот замка начали опускать с постоянной скоростью u = 0,2 м/с. Мальчик, игравший на расстоянии l = 20 м от ворот, в тот же момент бросился бежать к воротам. Сначала он двигался равноускоренно, а затем, набрав максимальную скорость vo = 2,5 м/с, – равномерно. С каким минимальным ускорением amin мог разгоняться мальчик, чтобы успеть пробежать под решеткой ворот в полный рост, если в начальный момент нижний край решетки находился на расстоянии Н = 3 м от поверхности земли? Рост мальчика h = 1 м.

163. При поливе садового участка наконечник водопроводного шланга расположили на высоте h = 0,8 м над поверхностью земли, направив струю воды вверх под углом $\alpha$ = 30° к горизонту. Найдите массу m воды, содержащейся в отрезке струи от наконечника шланга до поверхности земли. Скорость воды, бьющей из шланга, vo = 6 м/с, внутреннее сечение наконечника шланга S = 3 см2, плотность воды $\rho$ = 103 кг/м3. Ускорение свободного падения принять равным g = 10 м/с2.

164. По гладкой горизонтальной плоскости скользит диск радиусом R, вырезанный из тонкого однородного листа металла (рис.). В момент времени t = 0 величина скорости точки A, расположенной на краю диска, оказалась равной vA. При этом скорость диаметрально противоположной крайней точки B диска была направлена вдоль прямой, образующей с диаметром АВ угол $\beta < 0,5\pi$, а скорость точки A совпадала с прямой, образующей с этим диаметром угол $\alpha < 0,5\pi$. Найдите величину перемещения Dr центра диска к моменту t = t. Окончательный расчет проведите для $\alpha$ = 60o и $\beta$ = 30o.

165. На средние части двух одинаковых катушек, лежащих на горизонтальной плоскости, намотана тонкая нерастяжимая нить (рис.). Точку A этой нити, находящуюся на равных расстояниях от осей катушек, начинают перемещать вертикально вверх. При этом катушки начинают катиться без проскальзывания так, что их оси не изменяют своего направления, нить не скользит по катушкам, а ее отрезки, не лежащие на катушках, находятся в вертикальной плоскости, перпендикулярной осям катушек. Найдите модуль скорости сближения катушек в тот момент, когда скорость точки A равна v, а угол 2$\alpha$ = 120°. Радиус средней части катушки в n = 2 раза меньше радиуса ее щек.

166. В закрепленную полусферу радиусом R бросили маленький тяжелый шарик так, что его скорость в момент удара о внутреннюю поверхность полусферы в точке A составляла с горизонтом угол $\alpha$ = 15°. После этого удара шарик вновь ударяется о поверхность полусферы в точке B, лежащей на одной горизонтали с точкой A, затем опять попадает в точку A и так далее. Считая удары шарика абсолютно упругими, найдите модули его скоростей при ударах в точках A и B.

167. С края бетонированного желоба, сечение которого изображено на рисунке, бросают в горизонтальном направлении маленький шарик. Какие значения может иметь величина начальной скорости шарика vo для того, чтобы он, ударившись один раз о дно желоба, выпрыгнул на его противоположную сторону? При расчетах положить H = 0,9 м, h = 0,5 м, l = 2 м. Ускорение свободного падения g = 9,8 м/с2. Удар шарика о дно желоба считать абсолютно упругим, сопротивлением воздуха пренебречь.

168. Преследуя добычу со скоростью v = 108 км/ч, гепард движется по прямой горизонтальной тропе прыжками длиной l = 8 м. Внезапно на пути гепарда встречается овраг глубиной H = 4/3 м. Отталкиваясь от края оврага точно так же, как и при движении по тропе, гепард прыгает в овраг. Найдите горизонтальное перемещение гепарда L при этом прыжке. Ускорение свободного падения принять равным g = 10 м/с2, сопротивление воздуха не учитывать, дно оврага считать горизонтальным.

169. Электронный луч формирует изображение на экране телевизора, перемещаясь по экрану электронно-лучевой трубки (кинескопа). При создании одного изображения (кадра) размером L = 36 см по горизонтали и H = 24 см по вертикали луч прочерчивает на экране N = 625 горизонтальных строк. Средняя скорость движения луча по вертикали v = 6 м/с. С какой скоростью перемещается светящееся пятно по горизонтальной строке экрана? Временем обратного хода луча пренебречь.

170. Зависимость проекции скорости точки на ось x от времени задана графиком, приведенным на рисунке. Найдите величину средней скорости точки за один период.

171. Два тонких жестких стержня длиной L каждый вращаются вокруг неподвижных точек O1 и O2 в плоскости рисунка. Расстояние между этими точками равно h. Найдите модуль скорости движения точки C пересечения этих стержней вдоль первого стержня в тот момент, когда угол между стержнями равен $\alpha$, угол CO1O2равен $\beta$, а скорости свободных концов стержней равны $vec{u_1}$ и $vec{u_2}$.

172. По двускатной крыше вдоль поверхности АВ соскальзывает сосулька (рис.). Какова скорость сосульки vo в момент отрыва от поверхности АВ, если расстояние от точки В до точки соударения с поверхностью крыши ВС равно l, а скорость сосульки перед соударением в n раз больше vo? Считать угол $\alpha$ известным, сопротивлением воздуха пренебречь.

173. Стержень длиной l = 1 м опирается на пол и на стену. Нижний конец стержня скользит по полу, удаляясь от стены, а верхний скользит по стене вниз. Найдите путь, пройденный точкой C, лежащей на середине стержня, при движении стержня от вертикального до горизонтального положения.