Сборник задач абитуриенту. ДИНАМИКА. Сферы, полусферы, цилиндры, конусы. Тема 6-8

          

ДИНАМИКА. Сферы, полусферы, цилиндры, конусы. Тема 6-8

6.65. С какой максимальной скоростью можно кататься на велосипеде по поверхности холма, имеющего форму полусферы радиусом 48 м, оставаясь все время на высоте 38,4 м (отсчитанной от центра кривизны). Коэффициент трения колес о землю 0,8.

6.66. В цирковом аттракционе мотоциклист движется по внутренней поверхности сферы радиусом 8,5 м, оставаясь все время на 5,1 м выше центра сферы. При какой минимальной скорости это возможно? Коэффициент трения между колесами и поверхностью сферы 0,92.

6.67. На внутренней поверхности сферы радиусом 12,5 см находится маленькая шайба. До какой минимальной угловой скорости нужно раскрутить сферу вокруг вертикальной оси, чтобы шайба не проскальзывала, находясь на 7,5 см ниже ее центра? Коэффициент трения 0,5.

6.68. С какой скоростью должен вращаться шарик внутри гладкий сферы радиусом 28 см, чтобы все время оставаться в горизонтальной плоскости на высоте 20 см от нижней точки сферы?

6.69. Шарик массой 10 г, подвешенный на легкой нити, образующей угол 30° с вертикалью, лежит на гладкой полусфере радиусом R = 10 см. Нить направлена по касательной к сфере. Шарику сообщили скорость 0,5 м/с параллельно основанию полусферы, и он стал двигаться, описывая окружность. Чему равна сила давления шарика на полусферу во время движения? При каком значении скорости она станет равной нулю?

6.70. Определить скорость, с которой должен двигаться мотоциклист по вертикальной цилиндрической стенке, имеющей диаметр 20 м, чтобы не соскользнуть вниз. Коэффициент трения 0,8.

6.71. Каков должен быть коэффициент трения μ резины о внутреннюю поверхность конуса с углом при вершине 2$\alpha$, чтобы мотоциклист мог двигаться по окружности радиуса R с угловой скоростью ω?

6.72. Полая сфера радиусом 0,4 м вращается вокруг вертикального диаметра с постоянной угловой скоростью 5 рад/с. Вместе со сферой на ее внутренней поверхности движется небольшая шайба, находящаяся на высоте h. Определить минимальное значение коэффициента трения μ, при котором это возможно.

6.73. Какова должна быть наименьшая скорость мотоцикла, для того чтобы он мог ехать по внутренней поверхности кругового цилиндра радиусом R по горизонтальной окружности? Коэффициент трения скольжения между шинами мотоцикла и поверхностью цилиндра равен μ.

6.74. Чаша в форме полусферы радиусом R = 0,8 м вращается с постоянной угловой скоростью ω вокруг вертикальной оси. Вместе с чашей вращается шарик, лежащий на ее внутренней поверхности. Расстояние от шарика до нижней точки чаши равно ее радиусу. Определить угловую скорость вращения чаши.